一般图最大匹配

带花树算法(Blossom Algorithm)

开花算法(Blossom Algorithm,也被称做带花树)可以解决一般图最大匹配问题(maximum cardinality matchings)。此算法由 Jack Edmonds 在 1961 年提出。 经过一些修改后也可以解决一般图最大权匹配问题。 此算法是第一个给出证明说最大匹配有多项式复杂度。

一般图匹配和二分图匹配(bipartite matching)不同的是,图可能存在奇环。

以此图为例,若直接取反(匹配边和未匹配边对调),会使得取反后的 M 不合法,某些点会出现在两条匹配上,而问题就出在奇环。

下面考虑一般图的增广算法。 从二分图的角度出发,每次枚举一个未匹配点,设出发点为根,标记为 "o" ,接下来交错标记 "o""i" ,不难发现 "i""o" 这段边是匹配边。

假设当前点是 v ,相邻点为 u

case 1: u 未拜访过,当 u 是未匹配点,则找到增广路径,否则从 u 的配偶找增广路。

case 2: u 已拜访过,遇到标记 "o" 代表需要 缩花 ,否则代表遇到偶环,跳过。

遇到偶环的情况,将他视为二分图解决,故可忽略。 缩花 后,再新图中继续找增广路。

general-matching-2

设原图为 G 缩花 后的图为 G' ,我们只需要证明:

  1. G 存在增广路, G' 也存在。
  2. G' 存在增广路, G 也存在。

general-matching-3

设非树边(形成环的那条边)为(u, v),定义花根 h=LCA(u,v) 。 奇环是交替的,有且仅有 h 的两条邻边类型相同,都是非匹配边。 那么进入 h 的树边肯定是匹配边,环上除了 h 以外其他点往环外的边都是非匹配边。

观察可知,从环外的边出去有两种情况,顺时针或逆时针。

general-matching-4

于是 缩花不缩花 都不影响正确性。

实作上找到 以后我们不需要真的 缩花 ,可以用数组纪录每个点在以哪个点为根的那朵花中。

复杂度分析 Complexity Analysis

每次找增广路,遍历所有边,遇到 会维护 上的点, O(|E|^2) 。 枚举所有未匹配点做增广路,总共 O(|V||E|^2)

代码

// graph
template <typename T>
class graph {
 public:
  struct edge {
    int from;
    int to;
    T cost;
  };
  vector<edge> edges;
  vector<vector<int> > g;
  int n;
  graph(int _n) : n(_n) { g.resize(n); }
  virtual int add(int from, int to, T cost) = 0;
};

// undirectedgraph
template <typename T>
class undirectedgraph : public graph<T> {
 public:
  using graph<T>::edges;
  using graph<T>::g;
  using graph<T>::n;

  undirectedgraph(int _n) : graph<T>(_n) {}
  int add(int from, int to, T cost = 1) {
    assert(0 <= from && from < n && 0 <= to && to < n);
    int id = (int)edges.size();
    g[from].push_back(id);
    g[to].push_back(id);
    edges.push_back({from, to, cost});
    return id;
  }
};

// blossom / find_max_unweighted_matching
template <typename T>
vector<int> find_max_unweighted_matching(const undirectedgraph<T> &g) {
  std::mt19937 rng(chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count());
  vector<int> match(g.n, -1);   // 匹配
  vector<int> aux(g.n, -1);     // 时间戳记
  vector<int> label(g.n);       // "o" or "i"
  vector<int> orig(g.n);        // 花根
  vector<int> parent(g.n, -1);  // 父节点
  queue<int> q;
  int aux_time = -1;

  auto lca = [&](int v, int u) {
    aux_time++;
    while (true) {
      if (v != -1) {
        if (aux[v] == aux_time) {  //找到拜访过的点 也就是LCA
          return v;
        }
        aux[v] = aux_time;
        if (match[v] == -1) {
          v = -1;
        } else {
          v = orig[parent[match[v]]];  //以匹配点的父节点继续寻找
        }
      }
      swap(v, u);
    }
  };  // lca

  auto blossom = [&](int v, int u, int a) {
    while (orig[v] != a) {
      parent[v] = u;
      u = match[v];
      if (label[u] == 1) {  // 初始点设为"o" 找增广路
        label[u] = 0;
        q.push(u);
      }
      orig[v] = orig[u] = a;  // 缩花
      v = parent[u];
    }
  };  // blossom

  auto augment = [&](int v) {
    while (v != -1) {
      int pv = parent[v];
      int next_v = match[pv];
      match[v] = pv;
      match[pv] = v;
      v = next_v;
    }
  };  // augment

  auto bfs = [&](int root) {
    fill(label.begin(), label.end(), -1);
    iota(orig.begin(), orig.end(), 0);
    while (!q.empty()) {
      q.pop();
    }
    q.push(root);
    // 初始点设为 "o", 这里以"0"代替"o", "1"代替"i"
    label[root] = 0;
    while (!q.empty()) {
      int v = q.front();
      q.pop();
      for (int id : g.g[v]) {
        auto &e = g.edges[id];
        int u = e.from ^ e.to ^ v;
        if (label[u] == -1) {  //找到未拜访点
          label[u] = 1;        // 标记 "i"
          parent[u] = v;
          if (match[u] == -1) {  //找到未匹配点
            augment(u);          // 寻找增广路径
            return true;
          }
          // 找到已匹配点 将与她匹配的点丢入queue 延伸交错树
          label[match[u]] = 0;
          q.push(match[u]);
          continue;
        } else if (label[u] == 0 &&
                   orig[v] !=
                       orig[u]) {  //找到已拜访点 且标记同为"o" 代表找到"花"
          int a = lca(orig[v], orig[u]);
          // 找LCA 然后缩花
          blossom(u, v, a);
          blossom(v, u, a);
        }
      }
    }
    return false;
  };  // bfs

  auto greedy = [&]() {
    vector<int> order(g.n);
    // 随机打乱 order
    iota(order.begin(), order.end(), 0);
    shuffle(order.begin(), order.end(), rng);

    // 将可以匹配的点匹配
    for (int i : order) {
      if (match[i] == -1) {
        for (auto id : g.g[i]) {
          auto &e = g.edges[id];
          int to = e.from ^ e.to ^ i;
          if (match[to] == -1) {
            match[i] = to;
            match[to] = i;
            break;
          }
        }
      }
    }
  };  // greedy

  // 一开始先随机匹配
  greedy();
  // 对未匹配点找增广路
  for (int i = 0; i < g.n; i++) {
    if (match[i] == -1) {
      bfs(i);
    }
  }
  return match;
}

习题

UOJ #79. 一般图最大匹配
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// graph
template <typename T>
class graph {
 public:
  struct edge {
    int from;
    int to;
    T cost;
  };
  vector<edge> edges;
  vector<vector<int> > g;
  int n;
  graph(int _n) : n(_n) { g.resize(n); }
  virtual int add(int from, int to, T cost) = 0;
};

// undirectedgraph
template <typename T>
class undirectedgraph : public graph<T> {
 public:
  using graph<T>::edges;
  using graph<T>::g;
  using graph<T>::n;

  undirectedgraph(int _n) : graph<T>(_n) {}
  int add(int from, int to, T cost = 1) {
    assert(0 <= from && from < n && 0 <= to && to < n);
    int id = (int)edges.size();
    g[from].push_back(id);
    g[to].push_back(id);
    edges.push_back({from, to, cost});
    return id;
  }
};

// blossom / find_max_unweighted_matching
template <typename T>
vector<int> find_max_unweighted_matching(const undirectedgraph<T> &g) {
  std::mt19937 rng(chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count());
  vector<int> match(g.n, -1);   // 匹配
  vector<int> aux(g.n, -1);     // 时间戳记
  vector<int> label(g.n);       // "o" or "i"
  vector<int> orig(g.n);        // 花根
  vector<int> parent(g.n, -1);  // 父节点
  queue<int> q;
  int aux_time = -1;

  auto lca = [&](int v, int u) {
    aux_time++;
    while (true) {
      if (v != -1) {
        if (aux[v] == aux_time) {  //找到拜访过的点 也就是LCA
          return v;
        }
        aux[v] = aux_time;
        if (match[v] == -1) {
          v = -1;
        } else {
          v = orig[parent[match[v]]];  //以匹配点的父节点继续寻找
        }
      }
      swap(v, u);
    }
  };  // lca

  auto blossom = [&](int v, int u, int a) {
    while (orig[v] != a) {
      parent[v] = u;
      u = match[v];
      if (label[u] == 1) {  // 初始点设为"o" 找增广路
        label[u] = 0;
        q.push(u);
      }
      orig[v] = orig[u] = a;  // 缩花
      v = parent[u];
    }
  };  // blossom

  auto augment = [&](int v) {
    while (v != -1) {
      int pv = parent[v];
      int next_v = match[pv];
      match[v] = pv;
      match[pv] = v;
      v = next_v;
    }
  };  // augment

  auto bfs = [&](int root) {
    fill(label.begin(), label.end(), -1);
    iota(orig.begin(), orig.end(), 0);
    while (!q.empty()) {
      q.pop();
    }
    q.push(root);
    // 初始点设为 "o", 这里以"0"代替"o", "1"代替"i"
    label[root] = 0;
    while (!q.empty()) {
      int v = q.front();
      q.pop();
      for (int id : g.g[v]) {
        auto &e = g.edges[id];
        int u = e.from ^ e.to ^ v;
        if (label[u] == -1) {  //找到未拜访点
          label[u] = 1;        // 标记 "i"
          parent[u] = v;
          if (match[u] == -1) {  //找到未匹配点
            augment(u);          // 寻找增广路径
            return true;
          }
          // 找到已匹配点 将与她匹配的点丢入queue 延伸交错树
          label[match[u]] = 0;
          q.push(match[u]);
          continue;
        } else if (label[u] == 0 &&
                   orig[v] !=
                       orig[u]) {  //找到已拜访点 且标记同为"o" 代表找到"花"
          int a = lca(orig[v], orig[u]);
          // 找LCA 然后缩花
          blossom(u, v, a);
          blossom(v, u, a);
        }
      }
    }
    return false;
  };  // bfs

  auto greedy = [&]() {
    vector<int> order(g.n);
    // 随机打乱 order
    iota(order.begin(), order.end(), 0);
    shuffle(order.begin(), order.end(), rng);

    // 将可以匹配的点匹配
    for (int i : order) {
      if (match[i] == -1) {
        for (auto id : g.g[i]) {
          auto &e = g.edges[id];
          int to = e.from ^ e.to ^ i;
          if (match[to] == -1) {
            match[i] = to;
            match[to] = i;
            break;
          }
        }
      }
    }
  };  // greedy

  // 一开始先随机匹配
  greedy();
  // 对未匹配点找增广路
  for (int i = 0; i < g.n; i++) {
    if (match[i] == -1) {
      bfs(i);
    }
  }
  return match;
}
int main(){
  ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0);
  int n, m;
  cin >> n >> m;
  undirectedgraph<int> g(n);
  int u, v;
  for(int i = 0; i < m; i++) {
    cin >> u >> v;
    u--;
    v--;
    g.add(u, v, 1);
  }
  auto blossom_match = find_max_unweighted_matching(g);
  vector<int> ans;
  int tot = 0;
  for(int i = 0; i < blossom_match.size(); i++) {
    ans.push_back(blossom_match[i]);
    if(blossom_match[i] != -1) {
      tot++;
    }
  }
  cout << (tot >> 1) << "\n";
  for(auto x : ans) {
    cout << x + 1 << " ";
  }
}

评论