二分图最大匹配

为了描述方便将两个集合分成左和右两个部分,所有匹配边都是横跨左右两个集合,可以假想成男女配对。

假设图有 n 个顶点, m 条边。

增广路算法 Augmenting Path Algorithm

因为增广路长度为奇数,路径起始点非左即右,所以我们先考虑从左边的未匹配点找增广路。 注意到因为交错路的关系,增广路上的第奇数条边都是非匹配边,第偶数条边都是匹配边,于是左到右都是非匹配边,右到左都是匹配边。 于是我们给二分图 定向 ,问题转换成,有向图中从给定起点找一条简单路径走到某个未匹配点,此问题等价给定起始点 s 能否走到终点 t 。 那么只要从起始点开始 DFS 遍历直到找到某个未匹配点, O(m) 。 未找到增广路时,我们拓展的路也称为 交错树

因为要枚举 n 个点,总复杂度为 O(nm)

代码

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struct augment_path {
  vector<vector<int> > g;
  vector<int> pa;  // 匹配
  vector<int> pb;
  vector<int> vis;  // 访问
  int n, m;         // 顶点和边的数量
  int dfn;          // 时间戳记
  int res;          // 匹配数

  augment_path(int _n, int _m) : n(_n), m(_m) {
    assert(0 <= n && 0 <= m);
    pa = vector<int>(n, -1);
    pb = vector<int>(m, -1);
    vis = vector<int>(n);
    g.resize(n);
    res = 0;
    dfn = 0;
  }

  void add(int from, int to) {
    assert(0 <= from && from < n && 0 <= to && to < m);
    g[from].push_back(to);
  }

  bool dfs(int v) {
    vis[v] = dfn;
    for (int u : g[v]) {
      if (pb[u] == -1) {
        pb[u] = v;
        pa[v] = u;
        return true;
      }
    }
    for (int u : g[v]) {
      if (vis[pb[u]] != dfn && dfs(pb[u])) {
        pa[v] = u;
        pb[u] = v;
        return true;
      }
    }
    return false;
  }

  int solve() {
    while (true) {
      dfn++;
      int cnt = 0;
      for (int i = 0; i < n; i++) {
        if (pa[i] == -1 && dfs(i)) {
          cnt++;
        }
      }
      if (cnt == 0) {
        break;
      }
      res += cnt;
    }
    return res;
  }
};

转为网络最大流模型

二分图最大匹配可以转换成网络流模型。

将左边所有点接上源点,右边所有点接上汇点,容量皆为 1 。原来的每条边从左往右连边,容量也皆为 1 ,最大流即最大匹配。

如果使用 Dinic 算法 求该网络的最大流,可在 O(\sqrt{n}m) 求出。

Dinic 算法分成两部分,第一部分用 O(m) 时间 BFS 建立网络流,第二步是 O(nm) 时间 DFS 进行增广。

但因为容量为 1 ,所以实际时间复杂度为 O(m)

接下来前 O(\sqrt{n}) 轮,复杂度为 O(\sqrt{n}m) O(\sqrt{n}) 轮以后,每条增广路径长度至少 \sqrt{n} ,而这样的路径不超过 \sqrt{n} ,所以此时最多只需要跑 \sqrt{n} 轮,整体复杂度为 O(\sqrt{n}m)

代码可以参考 Dinic 算法 的参考实现,这里不再给出。

补充

二分图最大独立集

选最多的点,满足两两之间没有边相连。

二分图中,最大独立集 = n - 最大匹配。

二分图最小点覆盖

选最少的点,满足每条边至少有一个端点被选,不难发现补集是独立集。

二分图中,最小点覆盖 = n - 最大独立集。

习题

UOJ #78. 二分图最大匹配

模板题

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

struct augment_path {
  vector<vector<int> > g;
  vector<int> pa;  // 匹配
  vector<int> pb;
  vector<int> vis;  // 访问
  int n, m;         // 顶点和边的数量
  int dfn;          // 时间戳记
  int res;          // 匹配数

  augment_path(int _n, int _m) : n(_n), m(_m) {
    assert(0 <= n && 0 <= m);
    pa = vector<int>(n, -1);
    pb = vector<int>(m, -1);
    vis = vector<int>(n);
    g.resize(n);
    res = 0;
    dfn = 0;
  }

  void add(int from, int to) {
    assert(0 <= from && from < n && 0 <= to && to < m);
    g[from].push_back(to);
  }

  bool dfs(int v) {
    vis[v] = dfn;
    for (int u : g[v]) {
      if (pb[u] == -1) {
        pb[u] = v;
        pa[v] = u;
        return true;
      }
    }
    for (int u : g[v]) {
      if (vis[pb[u]] != dfn && dfs(pb[u])) {
        pa[v] = u;
        pb[u] = v;
        return true;
      }
    }
    return false;
  }

  int solve() {
    while (true) {
      dfn++;
      int cnt = 0;
      for (int i = 0; i < n; i++) {
        if (pa[i] == -1 && dfs(i)) {
          cnt++;
        }
      }
      if (cnt == 0) {
        break;
      }
      res += cnt;
    }
    return res;
  }
};

int main() {
  int n, m, e;
  cin >> n >> m >> e;
  augment_path solver(n, m);
  int u, v;
  for (int i = 0; i < e; i++) {
    cin >> u >> v;
    u--, v--;
    solver.add(u, v);
  }
  cout << solver.solve() << "\n";
  for (int i = 0; i < n; i++) {
    cout << solver.pa[i] + 1 << " ";
  }
  cout << "\n";
}
P1640 [SCOI2010]连续攻击游戏

None

Codeforces 1139E - Maximize Mex

None


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