Z 函数(扩展 KMP)

约定:字符串下标以 0 为起点。

对于个长度为 n 的字符串 s 。定义函数 z[i] 表示 s s[i,n-1] (即以 s[i] 开头的后缀)的最长公共前缀(LCP)的长度。 z 被称为 s Z 函数。特别地, z[0] = 0

国外一般将计算该数组的算法称为 Z Algorithm ,而国内则称其为 扩展 KMP

这篇文章介绍在 O(n) 时间复杂度内计算 Z 函数的算法以及其各种应用。

样例

下面若干样例展示了对于不同字符串的 Z 函数:

  • z(\mathtt{aaaaa}) = [0, 4, 3, 2, 1]
  • z(\mathtt{aaabaab}) = [0, 2, 1, 0, 2, 1, 0]
  • z(\mathtt{abacaba}) = [0, 0, 1, 0, 3, 0, 1]

朴素算法

Z 函数的朴素算法复杂度为 O(n^2)

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vector<int> z_function_trivial(string s) {
  int n = (int)s.length();
  vector<int> z(n);
  for (int i = 1; i < n; ++i)
    while (i + z[i] < n && s[z[i]] == s[i + z[i]]) ++z[i];
  return z;
}

线性算法

如同大多数字符串主题所介绍的算法,其关键在于,运用自动机的思想寻找限制条件下的状态转移函数,使得可以借助之前的状态来加速计算新的状态。

在该算法中,我们从 1 n-1 顺次计算 z[i] 的值( z[0]=0 )。在计算 z[i] 的过程中,我们会利用已经计算好的 z[0],\ldots,z[i-1]

对于 i ,我们称区间 [i,i+z[i]-1] i 匹配段,也可以叫 Z-box。

算法的过程中我们维护右端点最靠右的匹配段。为了方便,记作 [l,r] 。根据定义, s[l,r] s 的前缀。在计算 z[i] 时我们保证 l\le i 。初始时 l=r=0

在计算 z[i] 的过程中:

  • 如果 i\le r ,那么根据 [l,r] 的定义有 s[i,r] = s[i-l,r-l] ,因此 z[i]\ge \min(z[i-l],r-i+1) 。这时:
  • z[i-l] < r-i+1 ,则 z[i] = z[i-l]
  • 否则 z[i-l]\ge r-i+1 ,这时我们令 z[i] = r-i+1 ,然后暴力枚举下一个字符扩展 z[i] 直到不能扩展为止。
  • 如果 i>r ,那么我们直接按照朴素算法,从 s[i] 开始比较,暴力求出 z[i]
  • 在求出 z[i] 后,如果 z[i]>r ,我们就需要更新 [l,r] ,即令 l=i, r=i+z[i]-1

可以访问这个网站来看Z函数的模拟过程。

实现

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vector<int> z_function(string s) {
  int n = (int)s.length();
  vector<int> z(n);
  for (int i = 1, l = 0, r = 0; i < n; ++i) {
    if (i <= r && z[i-l] < r - i + 1){
      z[i] = z[i-l];
    } else {
      z[i] = max(0,r - i + 1);
      while (i + z[i] < n && s[z[i]] == s[i + z[i]]) ++z[i];
    }
    if (i + z[i] - 1 > r) l = i, r = i + z[i] - 1;
  }
  return z;
}

复杂度分析

对于内层 while 循环,每次执行都会使得 r 向后移至少 1 位,而 r\lt n-1 ,所以总共只会执行 n 次。

对于外层循环,只有一遍线性遍历。

总复杂度为 O(n)

应用

我们现在来考虑在若干具体情况下 Z 函数的应用。

这些应用在很大程度上同 前缀函数 的应用类似。

匹配所有子串

为了避免混淆,我们将 t 称作 文本 ,将 p 称作 模式 。所给出的问题是:寻找在文本 t 中模式 p 的所有出现(occurrence)。

为了解决该问题,我们构造一个新的字符串 s = p + \diamond + t ,也即我们将 p t 连接在一起,但是在中间放置了一个分割字符 \diamond (我们将如此选取 \diamond 使得其必定不出现在 p t 中)。

首先计算 s 的 Z 函数。接下来,对于在区间 [0,|t| - 1] 中的任意 i ,我们考虑以 t[i] 为开头的后缀在 s 中的Z函数值 k = z[i + |p| + 1] 。如果 k = |p| ,那么我们知道有一个 p 的出现位于 t 的第 i 个位置,否则没有 p 的出现位于 t 的第 i 个位置。

其时间复杂度(同时也是其空间复杂度)为 O(|t| + |p|)

本质不同子串数

给定一个长度为 n 的字符串 s ,计算 s 的本质不同子串的数目。

考虑计算增量,即在知道当前 s 的本质不同子串数的情况下,计算出在 s 末尾添加一个字符后的本质不同子串数。

k 为当前 s 的本质不同子串数。我们添加一个新的字符 c s 的末尾。显然,会出现一些以 c 结尾的新的子串(以 c 结尾且之前未出现过的子串)。

设串 t s + c 的反串(反串指将原字符串的字符倒序排列形成的字符串)。我们的任务是计算有多少 t 的前缀未在 t 的其他地方出现。考虑计算 t 的 Z 函数并找到其最大值 z_{\max} 。则 t 的长度小于等于 z_{\max} 的前缀的反串在 s 中是已经出现过的以 c 结尾的子串。

所以,将字符 c 添加至 s 后新出现的子串数目为 |t| - z_{\max}

算法时间复杂度为 O(n^2)

值得注意的是,我们可以用同样的方法在 O(n) 时间内,重新计算在端点处添加一个字符或者删除一个字符(从尾或者头)后的本质不同子串数目。

字符串整周期

给定一个长度为 n 的字符串 s ,找到其最短的整周期,即寻找一个最短的字符串 t ,使得 s 可以被若干个 t 拼接而成的字符串表示。

考虑计算 s 的 Z 函数,则其整周期的长度为最小的 n 的因数 i ,满足 i+z[i]=n

该事实的证明同应用 前缀函数 的证明一样。

练习题目


本页面主要译自博文 Z-функция строки и её вычисление 与其英文翻译版 Z-function and its calculation 。其中俄文版版权协议为 Public Domain + Leave a Link;英文版版权协议为 CC-BY-SA 4.0。


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