最小表示法

最小表示法是用于解决字符串最小表示问题的方法(废话

字符串的最小表示

循环同构

当字符串 S 中可以选定一个位置 i 满足

S[i\cdots n]+S[1\cdots i-1]=T

则称 S T 循环同构

最小表示

字符串 S 的最小表示为与 S 循环同构的所有字符串中字典序最小的字符串

simple 的暴力

我们直接比较与 S 同构的所有字符串,共 n 个。

每次保留当前字典序最小的字符串与剩余的字符串比较。

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int k = 0, i = 0, j = 1;
for (; j < n; j++) {
  if (sec[(i + k) % n] == sec[(j + k) % n]) {
    k++;
  } else {
    if (sec[(i + k) % n] > sec[(j + k) % n] % n) {
      i = j;
    }
    k = 0;
  }
}

随机数据下表现良好,但是可以构造特殊数据卡掉。

例如:对于 aaa\cdots aaa , 不难发现这个算法的复杂度退化为 O(n^2)

我们发现,当字符串中出现多个连续重复子串时,此算法效率降低,我们考虑优化这个过程。

最小表示法

算法核心

考虑对于一对字符串 A,B , 它们在原字符串 S 中的起始位置分别为 i,j , 且它们的前 k 个字符均相同,即

A[i \cdots i+k-1]=B[j \cdots j+k-1]

不妨先考虑 A[i+k]>B[j+k] 的情况,我们发现起始位置下标 l 满足 i\le l\le i+k 的字符串均不能成为答案。因为对于任意一个字符串 S_{i+p} (表示以 i+p 为起始位置的字符串)一定存在字符串 S_{j+p} 比它更优。

所以我们比较时可以跳过下标 l\in [i,i+k] , 直接比较 S_{i+k+1}

这样,我们就完成了对于上文暴力的优化。

时间复杂度

O(n)

证明:显然

算法流程

  1. 初始化指针 i 0 j 1 ;初始化匹配长度 k 0
  2. 比较第 k 位的大小,根据比较结果跳转相应指针。若跳转后两个指针相同,则随意选一个加一以保证比较的两个字符串不同
  3. 重复上述过程,直到比较结束
  4. 答案为 i,j 中较小的一个

代码

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int k = 0, i = 0, j = 1;
while (k < n && i < n && j < n) {
  if (sec[(i + k) % n] == sec[(j + k) % n]) {
    k++;
  } else {
    sec[(i + k) % n] > sec[(j + k) % n] ? i = i + k + 1 : j = j + k + 1;
    if (i == j) i++;
    k = 0;
  }
}
i = min(i, j);

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