字符串哈希

Hash 的思想

Hash 的核心思想在于,将输入映射到一个值域较小、可以方便比较的范围。

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这里的“值域较小”在不同情况下意义不同。

哈希表 中,值域需要小到能够接受线性的空间与时间复杂度。

在字符串哈希中,值域需要小到能够快速比较( 10^9 10^{18} 都是可以快速比较的)。

同时,为了降低哈希冲突率,值域也不能太小。

我们定义一个把字符串映射到整数的函数 f ,这个 f 称为是 Hash 函数。

我们希望这个函数 f 可以方便地帮我们判断两个字符串是否相等。

具体来说,哈希函数最重要的性质可以概括为下面两条:

  1. 在 Hash 函数值不一样的时候,两个字符串一定不一样;

  2. 在 Hash 函数值一样的时候,两个字符串不一定一样(但有大概率一样,且我们当然希望它们总是一样的)。

Hash 函数值一样时原字符串却不一样的现象我们成为哈希碰撞。

我们需要关注的是什么?

时间复杂度和 Hash 的准确率。

通常我们采用的是多项式 Hash 的方法,对于一个长度为 l 的字符串 s 来说,我们可以这样定义多项式 Hash 函数: f(s) = \sum_{i=1}^{l} s[i] \times b^{l-i} \pmod M 。例如,对于字符串 xyz ,其哈希函数值为 xb^2+yb+z

特别要说明的是,也有很多人使用的是另一种 Hash 函数的定义,即 f(s) = \sum_{i=1}^{l} s[i] \times b^{i-1} \pmod M ,这种定义下,同样的字符串 xyz 的哈希值就变为了 x+yb+zb^2 了。显然,上面这两种哈希函数的定义函数都是可行的,但二者在之后会讲到的计算子串哈希值时所用的计算式是不同的,因此千万注意 不要弄混了这两种不同的 Hash 方式。由于前者的 Hash 定义计算更简便、使用人数更多、且可以类比为一个 b 进制数来帮助理解,所以本文下面所将要讨论的都是使用 f(s) = \sum_{i=1}^{l} s[i] \times b^{l-i} \pmod M 来定义的 Hash 函数。

下面讲一下如何选择 M 和计算哈希碰撞的概率。

这里 M 需要选择一个素数(至少要比最大的字符要大), b 可以任意选择。如果我们用未知数 x 替代 b ,那么 f(s) 实际上是多项式环 \mathbb{Z}_M[x] 上的一个多项式。考虑两个不同的字符串 s,t ,有 f(s)=f(t) 。我们记 h(x)=f(s)-f(t)=\sum_{i=1}^l(s[i]-t[i])x^{l-i}\pmod M ,其中 l=\max(|s|,|t|) 。可以发现 h(x) 是一个 l-1 阶的非零多项式。如果 s t x=b 的情况下哈希碰撞,则 b h(x) 的一个根。由于 h(x) \mathbb{Z}_M 是一个域(等价于 M 是一个素数,这也是为什么 M 要选择素数的原因)的时候,最多有 l-1 个根,如果我们保证 b 是从 [0,M) 之间均匀随机选取的,那么 f(s) f(t) 碰撞的概率可以估计为 \frac{l-1}{M} 。简单验算一下,可以发现如果两个字符串长度都是 1 的时候,哈希碰撞的概率为 \frac{1-1}{M}=0 ,此时不可能发生碰撞。

Hash 的实现

参考代码:(效率低下的版本,实际使用时一般不会这么写)

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using std::string;

const int M = 1e9 + 7;
const int B = 233;

typedef long long ll;

int get_hash(const string& s) {
  int res = 0;
  for (int i = 0; i < s.size(); ++i) {
    res = (ll)(res * B + s[i]) % M;
  }
  return res;
}

bool cmp(const string& s, const string& t) {
  return get_hash(s) == get_hash(t);
}

Hash 的分析与改进

错误率

若进行 n 次比较,每次错误率 \dfrac 1 M ,那么总错误率是 1-\left(1-\dfrac 1 M\right)^n 。在随机数据下,若 M=10^9 + 7 n=10^6 ,错误率约为 \dfrac 1{1000} ,并不是能够完全忽略不计的。

所以,进行字符串哈希时,经常会对两个大质数分别取模,这样的话哈希函数的值域就能扩大到两者之积,错误率就非常小了。

多次询问子串哈希

单次计算一个字符串的哈希值复杂度是 O(n) ,其中 n 为串长,与暴力匹配没有区别,如果需要多次询问一个字符串的子串的哈希值,每次重新计算效率非常低下。

一般采取的方法是对整个字符串先预处理出每个前缀的哈希值,将哈希值看成一个 b 进制的数对 M 取模的结果,这样的话每次就能快速求出子串的哈希了:

f_i(s) 表示 f(s[1..i]) ,即原串长度为 i 的前缀的哈希值,那么按照定义有 f_i(s)=s[1]\cdot b^{i-1}+s[2]\cdot b^{i-2}+...+s[i-1]\cdot b+s[i]

现在,我们想要用类似前缀和的方式快速求出 f(s[l..r]) ,按照定义有字符串 s[l..r] 的哈希值为 f(s[l..r])=s[l]\cdot b^{r-l}+s[l+1]\cdot b^{r-l-1}+...+s[r-1]\cdot b+s[r]

对比观察上述两个式子,我们发现 f(s[l..r])=f_r(s)-f_{l-1}(s) \times b^{r-l+1} 成立(可以手动代入验证一下),因此我们用这个式子就可以快速得到子串的哈希值。其中 b^{r-l+1} 可以 O(n) 的预处理出来然后 O(1) 的回答每次询问(当然也可以快速幂 O(\log n) 的回答每次询问)。

Hash 的应用

字符串匹配

求出模式串的哈希值后,求出文本串每个长度为模式串长度的子串的哈希值,分别与模式串的哈希值比较即可。

允许 k 次失配的字符串匹配

问题:给定长为 n 的源串 s ,以及长度为 m 的模式串 p ,要求查找源串中有多少子串与模式串匹配。 s' s 匹配,当且仅当 s' s 长度相同,且最多有 k 个位置字符不同。其中 1\leq n,m\leq 10^6 0\leq k\leq 5

这道题无法使用 KMP 解决,但是可以通过哈希 + 二分来解决。

枚举所有可能匹配的子串,假设现在枚举的子串为 s' ,通过哈希 + 二分可以快速找到 s' p 第一个不同的位置。之后将 s' p 在这个失配位置及之前的部分删除掉,继续查找下一个失配位置。这样的过程最多发生 k 次。

总的时间复杂度为 O(m+kn\log_2m)

最长回文子串

二分答案,判断是否可行时枚举回文中心(对称轴),哈希判断两侧是否相等。需要分别预处理正着和倒着的哈希值。时间复杂度 O(n\log n)

这个问题可以使用 manacher 算法 O(n) 的时间内解决。

通过哈希同样可以 O(n) 解决这个问题,具体方法就是记 R_i 表示以 i 作为结尾的最长回文的长度,那么答案就是 \max_{i=1}^nR_i 。考虑到 R_i\leq R_{i-1}+2 ,因此我们只需要暴力从 R_{i-1}+2 开始递减,直到找到第一个回文即可。记变量 z 表示当前枚举的 R_i ,初始时为 0 ,则 z 在每次 i 增大的时候都会增大 2 ,之后每次暴力循环都会减少 1 ,故暴力循环最多发生 2n 次,总的时间复杂度为 O(n)

最长公共子字符串

问题:给定 m 个总长不超过 n 的非空字符串,查找所有字符串的最长公共子字符串,如果有多个,任意输出其中一个。其中 1\leq m, n\leq 10^6

很显然如果存在长度为 k 的最长公共子字符串,那么 k-1 的公共子字符串也必定存在。因此我们可以二分最长公共子字符串的长度。假设现在的长度为 k check(k) 的逻辑为我们将所有所有字符串的长度为 k 的子串分别进行哈希,将哈希值放入 n 个哈希表中存储。之后求交集即可。

时间复杂度为 O(n\log_2\frac{n}{m})

确定字符串中不同子字符串的数量

问题:给定长为 n 的字符串,仅由小写英文字母组成,查找该字符串中不同子串的数量。

为了解决这个问题,我们遍历了所有长度为 l=1,\cdots ,n 的子串。对于每个长度为 l ,我们将其 Hash 值乘以相同的 b 的幂次方,并存入一个数组中。数组中不同元素的数量等于字符串中长度不同的子串的数量,并此数字将添加到最终答案中。

为了方便起见,我们将使用 h [i] 作为 Hash 的前缀字符,并定义 h[0]=0

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int count_unique_substrings(string const& s) {
  int n = s.size();

  const int b = 31;
  const int m = 1e9 + 9;
  vector<long long> b_pow(n);
  b_pow[0] = 1;
  for (int i = 1; i < n; i++) b_pow[i] = (b_pow[i - 1] * b) % m;

  vector<long long> h(n + 1, 0);
  for (int i = 0; i < n; i++)
    h[i + 1] = (h[i] + (s[i] - 'a' + 1) * b_pow[i]) % m;

  int cnt = 0;
  for (int l = 1; l <= n; l++) {
    set<long long> hs;
    for (int i = 0; i <= n - l; i++) {
      long long cur_h = (h[i + l] + m - h[i]) % m;
      cur_h = (cur_h * b_pow[n - i - 1]) % m;
      hs.insert(cur_h);
    }
    cnt += hs.size();
  }
  return cnt;
}

例题

CF1200E Compress Words

给你若干个字符串,答案串初始为空。第 i 步将第 i 个字符串加到答案串的后面,但是尽量地去掉重复部分(即去掉一个最长的、是原答案串的后缀、也是第 i 个串的前缀的字符串),求最后得到的字符串。

字符串个数不超过 10^5 ,总长不超过 10^6

题解

每次需要求最长的、是原答案串的后缀、也是第 i 个串的前缀的字符串。枚举这个串的长度,哈希比较即可。

当然,这道题也可以使用 KMP 算法 解决。

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int L = 1e6 + 5;
const int HASH_CNT = 2;

int hashBase[HASH_CNT] = {29, 31};
int hashMod[HASH_CNT] = {int(1e9 + 9), 998244353};

struct StringWithHash {
  char s[L];
  int ls;
  int hsh[HASH_CNT][L];
  int pwMod[HASH_CNT][L];
  void init() {
    ls = 0;
    for (int i = 0; i < HASH_CNT; ++i) {
      hsh[i][0] = 0;
      pwMod[i][0] = 1;
    }
  }
  StringWithHash() { init(); }
  void extend(char c) {
    s[++ls] = c;
    for (int i = 0; i < HASH_CNT; ++i) {
      pwMod[i][ls] = 1ll * pwMod[i][ls - 1] * hashBase[i] % hashMod[i];
      hsh[i][ls] = (1ll * hsh[i][ls - 1] * hashBase[i] + c) % hashMod[i];
    }
  }
  vector<int> getHash(int l, int r) {
    vector<int> res(HASH_CNT, 0);
    for (int i = 0; i < HASH_CNT; ++i) {
      int t =
          (hsh[i][r] - 1ll * hsh[i][l - 1] * pwMod[i][r - l + 1]) % hashMod[i];
      t = (t + hashMod[i]) % hashMod[i];
      res[i] = t;
    }
    return res;
  }
};

bool equal(const vector<int> &h1, const vector<int> &h2) {
  assert(h1.size() == h2.size());
  for (unsigned i = 0; i < h1.size(); i++)
    if (h1[i] != h2[i]) return false;
  return true;
}

int n;
StringWithHash s, t;
char str[L];

void work() {
  int len = strlen(str);
  t.init();
  for (int j = 0; j < len; ++j) t.extend(str[j]);
  int d = 0;
  for (int j = min(len, s.ls); j >= 1; --j) {
    if (equal(t.getHash(1, j), s.getHash(s.ls - j + 1, s.ls))) {
      d = j;
      break;
    }
  }
  for (int j = d; j < len; ++j) s.extend(str[j]);
}
int main() {
  scanf("%d", &n);
  for (int i = 1; i <= n; ++i) {
    scanf("%s", str);
    work();
  }
  printf("%s\n", s.s + 1);
  return 0;
}

本页面部分内容译自博文 строковый хеш 与其英文翻译版 String Hashing。其中俄文版版权协议为 Public Domain + Leave a Link;英文版版权协议为 CC-BY-SA 4.0。


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