字符串哈希

Hash 的思想

Hash 的核心思想在于,将输入映射到一个值域较小、可以方便比较的范围。

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这里的“值域较小”在不同情况下意义不同。

哈希表 中,值域需要小到能够接受线性的空间与时间复杂度。

在字符串哈希中,值域需要小到能够快速比较( 10^9 10^{18} 都是可以快速比较的)。

同时,为了降低哈希冲突率,值域也不能太小。

我们定义一个把字符串映射到整数的函数 f ,这个 f 称为是 Hash 函数。

我们希望这个函数 f 可以方便地帮我们判断两个字符串是否相等。

具体来说,我们希望在 Hash 函数值不一样的时候,两个字符串一定不一样。

另外,反过来不需要成立。我们把这种条件称为是单侧错误。

我们需要关注的是什么?

时间复杂度和 Hash 的准确率。

通常我们采用的是多项式 Hash 的方法,即 f(s) = \sum s[i] \times b^i \pmod M

这里面的 b M 需要选取得足够合适才行,以使得 Hash 函数的值分布尽量均匀。

如果 b M 互质,在输入随机的情况下,这个 Hash 函数在 [0,M) 上每个值概率相等,此时单次比较的错误率为 \frac 1 M 。所以,哈希的模数一般会选用大质数。

Hash 的实现

参考代码:(效率低下的版本,实际使用时一般不会这么写)

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using std::string;

const int M = 1e9 + 7;
const int B = 233;

typedef long long ll;

int get_hash(const string& s) {
  int res = 0;
  for (int i = 0; i < s.size(); ++i) {
    res = (ll)(res * B + s[i]) % mod;
  }
  return res;
}

void cmp(const string& s, const string& t) {
  return get_hash(s) == get_hash(t);
}

Hash 的分析与改进

错误率

若进行 n 次比较,每次错误率 \frac 1 M ,那么总错误率是 1-\left(1-\frac 1 M\right)^n 。在随机数据下,若 M=10^9 + 7 , n=10^6 ,错误率约为 \frac 1{1000} ,并不是能够完全忽略不计的。

所以,进行字符串哈希时,经常会对两个大质数分别取模,这样的话哈希函数的值域就能扩大到两者之积,错误率就非常小了。

多次询问子串哈希

单次计算一个字符串的哈希值复杂度是 O(n) ,其中 n 为串长,与暴力匹配没有区别,如果需要多次询问一个字符串的子串的哈希值,每次重新计算效率非常低下。

一般采取的方法是对整个字符串先预处理出每个前缀的哈希值,将哈希值看成一个 b 进制的数对 M 取模的结果,这样的话每次就能快速求出子串的哈希了:

f_i(s) 表示 f(s[1..i]) ,那么 f(s[l..r])=\frac{f_r(s)-f_{l-1}(s)}{b^{l-1}} ,其中 \frac{1}{b^{l-1}} 也可以预处理出来,用 乘法逆元 或者是在比较哈希值时等式两边同时乘上 b 的若干次方化为整式均可。

这样的话,就可以在 O(n) 的预处理后每次 O(1) 地计算子串的哈希值了。

Hash 的应用

字符串匹配

求出模式串的哈希值后,求出文本串每个长度为模式串长度的子串的哈希值,分别与模式串的哈希值比较即可。

最长回文子串

二分答案,判断是否可行时枚举回文中心(对称轴),哈希判断两侧是否相等。需要分别预处理正着和倒着的哈希值。时间复杂度 O(n\log n)

这个问题可以使用 manacher 算法 O(n) 的时间内解决。

例题

CF1200E Compress Words

给你若干个字符串,答案串初始为空。第 i 步将第 i 个字符串加到答案串的后面,但是尽量地去掉重复部分(即去掉一个最长的、是原答案串的后缀、也是第 i 个串的前缀的字符串),求最后得到的字符串。

字符串个数不超过 10^5 ,总长不超过 10^6

题解

每次需要求最长的、是原答案串的后缀、也是第 i 个串的前缀的字符串。枚举这个串的长度,哈希比较即可。

当然,这道题也可以使用 KMP 算法 解决。

参考代码
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#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>

const int N = 1000010;
const int m1 = 998244353;
const int m2 = 1000001011;
const int K = 233;

typedef long long ll;

int m, h1[N], h2[N], len, i1[N], i2[N];
char s[N];

void add(char x) {
  h1[len + 1] = ((ll)h1[len] * K + x) % m1;
  h2[len + 1] = ((ll)h2[len] * K + x) % m2;
  ++len;
}

int get1(int l, int r) { return (ll)(h1[r] - h1[l - 1] + m1) * i1[l - 1] % m1; }
int get2(int l, int r) { return (ll)(h2[r] - h2[l - 1] + m2) * i2[l - 1] % m2; }

bool cmp(int l1, int r1, int l2, int r2) {
  return get1(l1, r1) == get1(l2, r2) && get2(l1, r1) == get2(l2, r2);
}

int qpow(int x, int y, int mod) {
  int out = 1;
  while (y) {
    if (y & 1) out = (ll)out * x % mod;
    x = (ll)x * x % mod;
    y >>= 1;
  }
  return out;
}

int main() {
  i1[0] = i2[0] = 1;
  int k1 = qpow(K, m1 - 2, m1);  // 求逆元
  int k2 = qpow(K, m2 - 2, m2);
  for (int i = 1; i < N; ++i) {
    i1[i] = (ll)i1[i - 1] * k1 % m1;
    i2[i] = (ll)i2[i - 1] * k2 % m2;
  }

  scanf("%d", &m);

  while (m--) {
    scanf("%s", s + 1);
    int n = strlen(s + 1);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) add(s[i]);
    // 先把当前串加到答案串的后面,可以方便地求哈希
    for (int i = std::min(n, len - n); i >= 0; --i) {
      if (cmp(len - n - i + 1, len - n, len - n + 1, len - n + i)) {
        len -= n;  // 确定了要加多长再真正地加进去
        for (int j = i + 1; j <= n; ++j) add(s[j]);
        printf("%s", s + i + 1);
        break;
      }
    }
  }

  return 0;
}

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