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字符串哈希

Hash 的思想¶

Hash 的核心思想在于，将输入映射到一个值域较小、可以方便比较的范围。

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这里的“值域较小”在不同情况下意义不同。

在哈希表中，值域需要小到能够接受线性的空间与时间复杂度。

在字符串哈希中，值域需要小到能够快速比较（、都是可以快速比较的）。

同时，为了降低哈希冲突率，值域也不能太小。

我们定义一个把字符串映射到整数的函数，这个称为是 Hash 函数。

我们希望这个函数可以方便地帮我们判断两个字符串是否相等。

具体来说，我们希望在 Hash 函数值不一样的时候，两个字符串一定不一样。

另外，反过来不需要成立。我们把这种条件称为是单侧错误。

我们需要关注的是什么？

时间复杂度和 Hash 的准确率。

通常我们采用的是多项式 Hash 的方法，即。

这里面的和需要选取得足够合适才行，以使得 Hash 函数的值分布尽量均匀。

如果和互质，在输入随机的情况下，这个 Hash 函数在上每个值概率相等，此时单次比较的错误率为。所以，哈希的模数一般会选用大质数。

Hash 的实现¶

参考代码：（效率低下的版本，实际使用时一般不会这么写）

using std::string;

const int M = 1e9 + 7;
const int B = 233;

typedef long long ll;

int get_hash(const string& s) {
  int res = 0;
  for (int i = 0; i < s.size(); ++i) {
    res = (ll)(res * B + s[i]) % M;
  }
  return res;
}

bool cmp(const string& s, const string& t) {
  return get_hash(s) == get_hash(t);
}

Hash 的分析与改进¶

错误率¶

若进行次比较，每次错误率，那么总错误率是。在随机数据下，若 , ，错误率约为，并不是能够完全忽略不计的。

所以，进行字符串哈希时，经常会对两个大质数分别取模，这样的话哈希函数的值域就能扩大到两者之积，错误率就非常小了。

多次询问子串哈希¶

单次计算一个字符串的哈希值复杂度是，其中为串长，与暴力匹配没有区别，如果需要多次询问一个字符串的子串的哈希值，每次重新计算效率非常低下。

一般采取的方法是对整个字符串先预处理出每个前缀的哈希值，将哈希值看成一个进制的数对取模的结果，这样的话每次就能快速求出子串的哈希了：

令表示，那么，其中也可以预处理出来，用乘法逆元或者是在比较哈希值时等式两边同时乘上的若干次方化为整式均可。

这样的话，就可以在的预处理后每次地计算子串的哈希值了。

Hash 的应用¶

字符串匹配¶

求出模式串的哈希值后，求出文本串每个长度为模式串长度的子串的哈希值，分别与模式串的哈希值比较即可。

最长回文子串¶

二分答案，判断是否可行时枚举回文中心（对称轴），哈希判断两侧是否相等。需要分别预处理正着和倒着的哈希值。时间复杂度。

这个问题可以使用 manacher 算法在的时间内解决。

例题¶

CF1200E Compress Words

给你若干个字符串，答案串初始为空。第步将第个字符串加到答案串的后面，但是尽量地去掉重复部分（即去掉一个最长的、是原答案串的后缀、也是第个串的前缀的字符串），求最后得到的字符串。

字符串个数不超过，总长不超过。

题解

每次需要求最长的、是原答案串的后缀、也是第个串的前缀的字符串。枚举这个串的长度，哈希比较即可。

当然，这道题也可以使用 KMP 算法解决。

参考代码

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>

const int N = 1000010;
const int m1 = 998244353;
const int m2 = 1000001011;
const int K = 233;

typedef long long ll;

int m, h1[N], h2[N], len, i1[N], i2[N];
char s[N];

void add(char x) {
  h1[len + 1] = ((ll)h1[len] * K + x) % m1;
  h2[len + 1] = ((ll)h2[len] * K + x) % m2;
  ++len;
}

int get1(int l, int r) { return (ll)(h1[r] - h1[l - 1] + m1) * i1[l - 1] % m1; }
int get2(int l, int r) { return (ll)(h2[r] - h2[l - 1] + m2) * i2[l - 1] % m2; }

bool cmp(int l1, int r1, int l2, int r2) {
  return get1(l1, r1) == get1(l2, r2) && get2(l1, r1) == get2(l2, r2);
}

int qpow(int x, int y, int mod) {
  int out = 1;
  while (y) {
    if (y & 1) out = (ll)out * x % mod;
    x = (ll)x * x % mod;
    y >>= 1;
  }
  return out;
}

int main() {
  i1[0] = i2[0] = 1;
  int k1 = qpow(K, m1 - 2, m1);  // 求逆元
  int k2 = qpow(K, m2 - 2, m2);
  for (int i = 1; i < N; ++i) {
    i1[i] = (ll)i1[i - 1] * k1 % m1;
    i2[i] = (ll)i2[i - 1] * k2 % m2;
  }

  scanf("%d", &m);

  while (m--) {
    scanf("%s", s + 1);
    int n = strlen(s + 1);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) add(s[i]);
    // 先把当前串加到答案串的后面，可以方便地求哈希
    for (int i = std::min(n, len - n); i >= 0; --i) {
      if (cmp(len - n - i + 1, len - n, len - n + 1, len - n + i)) {
        len -= n;  // 确定了要加多长再真正地加进去
        for (int j = i + 1; j <= n; ++j) add(s[j]);
        printf("%s", s + i + 1);
        break;
      }
    }
  }

  return 0;
}

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