随机函数

概述

要想使用随机化技巧,前提条件是能够快速生成随机数。本文将介绍生成随机数的常见方法。

随机数与伪随机数

说一个单独的数是“随机数”是无意义的,所以以下我们都默认讨论“随机数列”,即使提到“随机数”,指的也是“随机数列中的一个元素”。

现有的计算机的运算过程都是确定性的,因此,仅凭借算法来生成真正 不可预测不可重复 的随机数列是不可能的。

然而在绝大部分情况下,我们都不需要如此强的随机性,而只需要所生成的数列在统计学上具有随机数列的种种特征(比如均匀分布、互相独立等等)。这样的数列即称为 伪随机数 序列。

随机数与伪随机数在实际生活和算法中的应用举例:

  • 抽样调查时往往只需使用伪随机数。这是因为我们本就只关心统计特征。
  • 网络安全中往往要用到(比刚刚提到的伪随机数)更强的随机数。这是因为攻击者可能会利用可预测性做文章。
  • OI/ICPC 中用到的随机算法,基本都只需要伪随机数。这是因为,这些算法往往是 通过引入随机数 来把概率引入复杂度分析,从而降低复杂度。这本质上依然只利用了随机数的统计特征。
  • 某些随机算法(例如 Moser 算法 )用到了随机数的熵相关的性质,因此必须使用真正的随机数。

实现

标准库实现

下面是 C++ 标准库里已有的一些随机函数实现。

rand

用于生成伪随机数,缺点是比较慢,使用时需要 #include<cstdlib>

调用 rand() 函数会返回一个 [0,RAND_MAX] 中的随机非负整数,其中 RAND_MAX 是标准库中的一个宏,在 Linux 系统下 RAND_MAX 等于 2^{31}-1 。可以用取模来限制所生成的数的大小。

使用 rand() 需要一个随机数种子,可以使用 srand(seed) 函数来将随机种子更改为 seed ,当然不初始化也是可以的。

同一程序使用相同的 seed 两次运行,在同一机器、同一编译器下,随机出的结果将会是相同的。

有一个选择是使用当前系统时间来作为随机种子: srand(time(0))

Warning

Windows 系统下 rand() 返回值的取值范围为 \left[0,2^{15}\right) (即 RAND_MAX 等于 2^{15}-1 ),当需要生成的数不小于 2^{15} 时建议使用 (rand() << 15 | rand()) 来生成更大的随机数。

关于 rand()rand()%n 的随机性:

  • C/C++ 标准并未关于 rand() 所生成随机数的任何方面的质量做任何规定。
  • GCC 编译器对 rand() 所采用的实现方式,保证了分布的均匀性等基本性质,但具有 低位周期长度短 等明显缺陷。(例如在笔者的机器上, rand()%2 所生成的序列的周期长约 2\cdot 10^6
  • 即使假设 rand() 是均匀随机的, rand()%n 也不能保证均匀性,因为 [0,n) 中的每个数在 0%n,1%n,...,RAND_MAX%n 中的出现次数可能不相同。

mt19937

是一个随机数生成器类,效用同 rand ,随机数的范围同 unsigned int 类型的取值范围。

其优点是随机数质量高(一个表现为,出现循环的周期更长;其他方面也都至少不逊于 rand() ),且速度比 rand() 快很多。使用时需要 #include<random>

mt19937 基于 Mersenne Twister algorithm ,使用时用其定义一个随机数生成器即可: std::mt19937 myrand(seed)seed 可不填,不填 seed 则会使用默认随机种子。

mt19937 重载了 operator () ,需要生成随机数时调用 myrand() 即可返回一个随机数。

另一个类似的生成器是 mt19937_64 ,使用方式同 mt19937 ,但随机数范围扩大到了 unsigned long long 类型的取值范围。

示例

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#include <ctime>
#include <iostream>
#include <random>

using namespace std;

int main() {
  mt19937 myrand(time(0));
  cout << myrand() << endl;
  return 0;
}

random_shuffle

用于随机打乱指定序列。使用时需要 #include<algorithm>

使用时传入指定区间的首尾指针或迭代器(左闭右开)即可: std::random_shuffle(first, last)std::random_shuffle(first, last, myrand)

内部使用的随机数生成器默认为 rand() 。当然也可以传入自定义的随机数生成器。

关于 random_shuffle 的随机性:

  • C++ 标准中要求 random_shuffle 在所有可能的排列中 等概率 随机选取,但 GCC2编译器 并未 严格执行。
  • GCC 中 random_shuffle 随机性上的缺陷的原因之一,是因为它使用了 rand()%n 这样的写法。如先前所述,这样生成的不是均匀随机的整数。
  • 原因之二,是因为 rand() 的值域有限。如果所传入的区间长度超过 RAND_MAX ,将存在某些排列 不可能 被产生1

Warning

random_shuffle 已于 C++14 标准中被弃用,于 C++17 标准中被移除。

shuffle

效用同 random_shuffle 。使用时需要 #include<algorithm>

区别在于必须使用自定义的随机数生成器: std::shuffle(first, last, myrand)

GCC2实现的 shuffle 符合 C++ 标准的要求,即在所有可能的排列中等概率随机选取。

下面是用 rand()random_shuffle() 编写的一个数据生成器。生成数据为 「ZJOI2012」灾难 的随机小数据。

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#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
#include <iostream>

int a[100];

int main() {
  srand(time(0));
  int n = rand() % 99 + 1;
  for (int i = 1; i <= n; i++) a[i] = i;
  std::cout << n << '\n';
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    std::random_shuffle(a + 1, a + i);
    int cnt = rand() % i;
    for (int j = 1; j <= cnt; j++) std::cout << a[j] << ' ';
    std::cout << 0 << '\n';
  }
}

下面是用 mt19937shuffle() 编写的同一个数据生成器。

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#include <algorithm>
#include <ctime>
#include <iostream>
#include <random>

int a[100];

int main() {
  std::mt19937 rng(time(0));
  int n = rng() % 99 + 1;
  for (int i = 1; i <= n; i++) a[i] = i;
  std::cout << n << '\n';
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    std::shuffle(a + 1, a + i, rng);
    int cnt = rng() % i;
    for (int j = 1; j <= cnt; j++) std::cout << a[j] << ' ';
    std::cout << 0 << '\n';
  }
}

非确定随机数的均匀分布整数随机数生成器

random_device 是一个基于硬件的均匀分布随机数生成器, 在熵池耗尽 前可以高速生成随机数。该类在 C++11 定义,需要 random 头文件。由于熵池耗尽后性能急剧下降,所以建议用此方法生成 mt19937 等伪随机数的种子,而不是直接生成。

参考代码如下。

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#include <iostream>
#include <map>
#include <random>
#include <string>

int main() {
  std::random_device rd;
  std::map<int, int> hist;
  std::uniform_int_distribution<int> dist(0, 9);
  for (int n = 0; n < 20000; ++n) {
    ++hist[dist(rd)];  // 注意:仅用于演示:一旦熵池耗尽,
                       // 许多 random_device 实现的性能就急剧下滑
                       // 对于实践使用, random_device 通常仅用于
                       // 播种类似 mt19937 的伪随机数生成器
  }
  for (auto p : hist) {
    std::cout << p.first << " : " << std::string(p.second / 100, '*') << '\n';
  }
}

可能的输出如下。

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0 : ********************
1 : *******************
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3 : ********************
4 : ********************
5 : *******************
6 : ********************
7 : ********************
8 : *******************
9 : ********************

阅读 cppreference 以获得更多信息。

其他实现方法

有的时候我们需要实现自己的随机数生成器。下面是一些常用的随机数生成方法。

线性同余随机数生成器

利用下式来生成随机数序列 \{R_i\}

R_{i+1} = (A \times R_i + B) \bmod P

其中 A,B,P 均为常数。

该方法实现难度低,但生成的随机序列周期长度较短(周期最大为 P ,但大多数情况下都会比 P 短)。

参考实现
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#include <iostream>
using namespace std;
struct myrand {
  int A, B, P, x;
  myrand(int A, int B, int P) {
    this->A = A;
    this->B = B;
    this->P = P;
  }
  int next() { return x = (A * x + B) % P; } // 生成随机序列的下一个随机数
};
myrand rnd(3, 5, 97); // 初始化一个随机数生成器
int main() {
  int x = rnd.next();
  cout << x << endl;
  return 0;
}

时滞斐波那契随机数生成器

利用下式来生成随机数序列 \{R_i\} (其中 0 < j < k ):

R_i \equiv R_{i-j} \star R_{i-k} \bmod P

这里的 P 通常取 2 的幂(常用 2^{32} 2^{64} ), \star 表示二元运算符,可以使用加法,减法,乘法,异或。

该方法较传统的线性同余随机数生成器而言,拥有更长的周期,但随机性受初始条件影响较大。

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#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
struct myrand {
  vector<unsigned> vec;
  int l, j, k, cur;
  myrand(int l, int j, int k) {
    this->l = l;
    this->j = j;
    this->k = k;
    cur = 0;
    for (int i = 0; i < l; i++) {
      vec.push_back(rand());  // 先用其他方法生成随机序列中的前几个元素
    }
  }
  unsigned next() {
    vec[cur] = vec[(cur - j + l) % l] * vec[(cur - k + l) % l];
    // 这里用 unsigned 类型是为了实现自动对 2^32 取模
    return vec[cur++];
  }
};
myrand rnd(11, 4, 7);
int main() {
  unsigned x = rnd.next();
  cout << x << endl;
  return 0;
}

参考资料与注释


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