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约瑟夫问题

约瑟夫问题由来已久,而这个问题的解法也在不断改进,只是目前仍没有一个极其高效的算法(log 以内)解决这个问题。

问题描述

n 个人标号 0,1,\cdots, n-1 。逆时针站一圈,从 0 号开始,每一次从当前的人逆时针数 k 个,然后让这个人出局。问最后剩下的人是谁。

这个经典的问题由约瑟夫于公元 1 世纪提出,尽管他当时只考虑了 k=2 的情况。现在我们可以用许多高效的算法解决这个问题。

朴素算法

最朴素的算法莫过于直接枚举。用一个环形链表枚举删除的过程,重复 n-1 次得到答案。复杂度 \Theta (n^2)

简单优化

寻找下一个人的过程可以用线段树优化。具体地,开一个 0,1,\cdots, n-1 的线段树,然后记录区间内剩下的人的个数。寻找当前的人的位置以及之后的第 k 个人可以在线段树上二分做。

线性算法

J_{n,k} 表示规模分别为 n,k 的约瑟夫问题的答案。我们有如下递归式

J_{n,k}=(J_{n-1,k}+k)\bmod n

这个也很好推。你从 0 开始数 k 个,让第 k-1 个人出局后剩下 n-1 个人,你计算出在 n-1 个人中选的答案后,再加一个相对位移 k 得到真正的答案。这个算法的复杂度显然是 \Theta (n) 的。

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int josephus(int n, int k) {
  int res = 0;
  for (int i = 1; i <= n; ++i) res = (res + k) % i;
  return res;
}

对数算法

对于 k 较小 n 较大的情况,本题还有一种复杂度为 \Theta (k\log n) 的算法。

考虑到我们每次走 k 个删一个,那么在一圈以内我们可以删掉 \left\lfloor\frac{n}{k}\right\rfloor 个,然后剩下了 n-\left\lfloor\frac{n}{k}\right\rfloor 个人。这时我们在第 \left\lfloor\frac{n}{k}\right\rfloor\cdot k 个人的位置上。而你发现这个东西它等于 n-n\bmod k 。于是我们继续递归处理,算完后还原它的相对位置。得到如下的算法:

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int josephus(int n, int k) {
  if (n == 1) return 0;
  if (k == 1) return n - 1;
  if (k > n) return (josephus(n - 1, k) + k) % n;  // 线性算法
  int res = josephus(n - n / k, k);
  res -= n % k;
  if (res < 0)
    res += n;  // mod n
  else
    res += res / (k - 1);  // 还原位置
  return res;
}

可以证明这个算法的复杂度是 \Theta (k\log n) 的。我们设这个过程的递归次数是 x ,那么每一次问题规模会大致变成 \displaystyle n\left(1-\frac{1}{k}\right) ,于是得到

n\left(1-\frac{1}{k}\right)^x=1

解这个方程得到

x=-\frac{\ln n}{\ln\left(1-\frac{1}{k}\right)}

下面我们证明该算法的复杂度是 \Theta (k\log n) 的。

考虑 \displaystyle \lim _{k \rightarrow \infty} k \log \left(1-\frac{1}{k}\right) ,我们有

\begin{aligned} \lim _{k \rightarrow \infty} k \log \left(1-\frac{1}{k}\right)&=\lim _{k \rightarrow \infty} \frac{\log \left(1-\frac{1}{k}\right)}{1 / k}\\ &=\lim _{k \rightarrow \infty} \frac{\frac{\mathrm d}{\mathrm d k} \log \left(1-\frac{1}{k}\right)}{\frac{\mathrm d}{\mathrm d k}\left(\frac{1}{k}\right)}\\ &=\lim _{k \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{k^{2}\left(1-\frac{1}{k}\right)}}{-\frac{1}{k^{2}}}\\ &=\lim _{k \rightarrow \infty}-\frac{k}{k-1}\\ &=-\lim _{k \rightarrow \infty} \frac{1}{1-\frac{1}{k}}\\ &=-1 \end{aligned}

所以 x \sim k \ln n, k\to \infty ,即 -\dfrac{\ln n}{\ln\left(1-\frac{1}{k}\right)}= \Theta (k\log n)

本页面主要译自博文 Задача Иосифа 与其英文翻译版 Josephus Problem 。其中俄文版版权协议为 Public Domain + Leave a Link;英文版版权协议为 CC-BY-SA 4.0。


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