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格雷码

格雷码是一个二进制数系,其中两个相邻数的二进制位只有一位不同。举个例子,3 位二进制数的格雷码序列为

000,001,011,010,110,111,101,100

注意序列的下标我们以 0 为起点,也就是说 G(0)=000,G(4)=100

格雷码由贝尔实验室的 Frank Gray 于 1940 年发现。

构造格雷码(变换)

格雷码的构造方法很多。我们首先介绍手动构造方法,然后会给出构造的代码以及正确性证明。

手动构造

k 位的格雷码可以通过以下方法构造。我们从全 0 格雷码开始,按照下面策略:

  1. 翻转最右边的位(个位)得到下一个格雷码,(例如 000\to 001 );
  2. 把最右边的 1 的左边的位翻转得到下一个格雷码,(例如 001\to 011 );

交替按照上述策略生成 2^k-1 次,可得到 k 位的格雷码序列。

镜像构造

k 位的格雷码可以从 k-1 位的格雷码以上下镜射后加上新位的方式快速的得到,如下图:

\begin{matrix} k=1\\ 0\\ 1\\\\\\\\\\\\\\ \end{matrix} \to \begin{matrix}\\ \color{Red}0\\\color{Red}1\\\color{Blue}1\\\color{Blue}0\\\\\\\\\\ \end{matrix} \to \begin{matrix} k=2\\ {\color{Red}0}0\\{\color{Red}0}1\\{\color{Blue}1}1\\{\color{Blue}1}0\\\\\\\\\\ \end{matrix} \to \begin{matrix}\\ \color{Red}00\\\color{Red}01\\\color{Red}11\\\color{Red}10\\\color{Blue}10\\\color{Blue}11\\\color{Blue}01\\\color{Blue}00 \end{matrix} \to \begin{matrix} k=3\\ {\color{Red}0}00\\{\color{Red}0}01\\{\color{Red}0}11\\{\color{Red}0}10\\{\color{Blue}1}10\\{\color{Blue}1}11\\{\color{Blue}1}01\\{\color{Blue}1}00 \end{matrix}

计算方法

我们观察一下 n 的二进制和 G(n) 。可以发现,如果 G(n) 的二进制第 i 位为 1,仅当 n 的二进制第 i 位为 1,第 i+1 位为 0 或者第 i 位为 0,第 i+1 位为 1。于是我们可以当成一个异或的运算,即

G(n)=n\oplus \left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor
1
int g(int n) { return n ^ (n >> 1); }

正确性证明

接下来我们证明一下,按照上述公式生成的格雷码序列,相邻两个格雷码的二进制位有且近有一位不同。

我们考虑 n n+1 的区别。把 n 加 1,相当于把 n 的二进制下末位的连续的 1 全部变成取反,然后把最低位的 0 变成 1。我们这样表示 n n+1 的二进制位:

\begin{array}{rll} (n)_2&=&\cdots0\underbrace{11\cdots11}_{k\text{个}}\\ (n+1)_2&=&\cdots1\underbrace{00\cdots00}_{k\text{个}} \end{array}

于是我们在计算 g(n) g(n+1) 的时侯,后 k 位都会变成 \displaystyle\underbrace{100\cdots00}_{k\text{个}} 的形式,而第 k+1 位是不同的,因为 n n+1 除了后 k+1 位,其他位都是相同的。因此第 k+1 位要么同时异或 1,要么同时异或 0。两种情况,第 k+1 位都是不同的。而除了后 k+1 位以外的二进制位也是做相同的异或运算,结果是相同的。

证毕。

通过格雷码构造原数(逆变换)

接下来我们考虑格雷码的逆变换,即给你一个格雷码 g ,要求你找到原数 n 。我们考虑从二进制最高位遍历到最低位(最低位下标为 1,即个位;最高位下标为 k)。则 n 的二进制第 i g 的二进制第 i g_i$ 的关系如下:

\begin{array}{rll} n_k &= g_k \\ n_{k-1} &= g_{k-1} \oplus n_k &= g_k \oplus g_{k-1} \\ n_{k-2} &= g_{k-2} \oplus n_{k-1} &= g_k \oplus g_{k-1} \oplus g_{k-2} \\ n_{k-3} &= g_{k-3} \oplus n_{k-2} &= g_k \oplus g_{k-1} \oplus g_{k-2} \oplus g_{k-3} \\ &\vdots\\ n_{k-i} &=\displaystyle\bigoplus_{j=0}^ig_{k-j} \end{array}
1
2
3
4
5
int rev_g(int g) {
  int n = 0;
  for (; g; g >>= 1) n ^= g;
  return n;
}

实际应用

格雷码有一些十分有用的应用,有些应用让人意想不到:

  • k 位二进制数的格雷码序列可以当作 k 维空间中的一个超立方体(2 维里的正方形,1 维里的单位向量)顶点的哈密尔顿回路,其中格雷码的每一位代表一个维度的坐标。

  • 格雷码被用于最小化数字模拟转换器(比如传感器)的信号传输中出现的错误,因为它每次只改变一个位。

  • 格雷码可以用来解决汉诺塔的问题。

    设盘的数量为 n。我们从 n 位全 0 的格雷码 G(0) 开始,依次移向下一个格雷码( G(i) 移向 G(i+1) )。当前格雷码的二进制第 i 位表示从小到大第 i 个盘子。

    由于每一次只有一个二进制位会改变,因此当第 i 位改变时,我们移动第 i 个盘子。在移动盘子的过程中,除了最小的盘子,其他任意一个盘子在移动的时侯,只能有一个放置选择。在移动第一个盘子的时侯,我们总是有两个放置选择。于是我们的策略如下:

    如果 n 是一个奇数,那么盘子的移动路径为 f\to t\to r\to f\to t\to r\to\cdots ,其中 f 是最开始的柱子, t 是最终我们把所有盘子放到的柱子, r 是中间的柱子。

    如果 n 是偶数: f \to r \to t \to f \to r \to t \to \cdots

  • 格雷码也在遗传算法理论中得到应用。

习题

  • SGU #249 Matrix Difficulty: medium

    本页面部分内容译自博文 Код Грея 与其英文翻译版 Gray code 。其中俄文版版权协议为 Public Domain + Leave a Link;英文版版权协议为 CC-BY-SA 4.0。


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