随机变量

相关概念

随机变量

给定概率空间 ,定义在样本空间 上的函数 若满足:对任意 都有

则称 随机变量

示性函数

对于样本空间 上的事件 ,定义随机变量

是事件 示性函数

分布函数

对于随机变量 ,称函数

为随机变量 分布函数。记作

分布函数具有以下性质:

  • 右连续性
  • 单调性:在 上单调递增(非严格)
  • ,

同时我们可以证明,满足上述要求的函数都是某个随机变量的分布函数。因此,分布函数与随机变量之间一一对应。

随机变量的分类

随机变量按其值域(根据定义,随机变量是一个函数)是否可数分为 离散型连续型 两种。

离散型随机变量

为离散型随机变量,其所有可能的取值为 ,则我们可以用一系列形如 的等式来描述 。这就是我们在高中课本中学过的 分布列

连续型随机变量

为离散型随机变量,考察 往往是无意义的(因为这一概率很可能是 )。

为什么说概率「很可能」是

考虑这样的随机变量 :它以 的概率取 ,以 的概率服从开区间 上的均匀分布。显然 满足连续型随机变量的定义。

对任何实数 ,不难得到 ,但同时有

另一方面,设 ,则

一个自然的想法是用极限 来描述 取值为 的可能性。

这个式子就是我们熟知的导数,于是问题转化为寻找一个非负函数 使得

若这样的 存在,则称之为 密度函数

随机变量的独立性

前面讨论了随机事件的独立性。由于随机变量和随机事件紧密联系,我们还可以类似地给出随机变量独立性的定义。

定义

若随机变量 满足对任意的 都有

则称随机变量 独立

Note

有些同学也许会注意到,中学课本中对随机变量独立性的定义是用形如 的概率定义的,但由于连续性随机变量取特定值的概率通常是 ,故在更一般的情形下借助分布函数定义才是更加明智的选择。

性质

若随机变量 , 相互独立,则对于任意函数 ,随机变量 相互独立。

Warning

有时候我们会研究相互独立的随机变量 , 的某一函数 (如 )的分布。

尽管 是独立的,但不能想当然地认为对 的某一取值 服从同样的分布。