随机变量
相关概念
随机变量
给定概率空间
,定义在样本空间
上的函数
若满足:对任意
都有

则称
为 随机变量。
示性函数
对于样本空间
上的事件
,定义随机变量

称
是事件
的 示性函数。
分布函数
对于随机变量
,称函数

为随机变量
的 分布函数。记作
。
分布函数具有以下性质:
- 右连续性:

- 单调性:在
上单调递增(非严格)
,
同时我们可以证明,满足上述要求的函数都是某个随机变量的分布函数。因此,分布函数与随机变量之间一一对应。
随机变量的分类
随机变量按其值域(根据定义,随机变量是一个函数)是否可数分为 离散型 和 连续型 两种。
离散型随机变量
设
为离散型随机变量,其所有可能的取值为
,则我们可以用一系列形如
的等式来描述
。这就是我们在高中课本中学过的 分布列。
连续型随机变量
设
为连续型随机变量,考察
往往是无意义的(因为这一概率很可能是
)。
为什么说概率「很可能」是 
考虑这样的随机变量
:它以
的概率取
,以
的概率服从开区间
上的均匀分布。显然
满足连续型随机变量的定义。
对任何实数
,不难得到
,但同时有
。
另一方面,设
,则

一个自然的想法是用极限
来描述
取值为
的可能性。
这个式子就是我们熟知的导数,于是问题转化为寻找一个非负函数
使得

若这样的
存在,则称之为
的 密度函数。
随机变量的独立性
前面讨论了随机事件的独立性。由于随机变量和随机事件紧密联系,我们还可以类似地给出随机变量独立性的定义。
定义
若随机变量
满足对任意的
都有

则称随机变量
独立。
Note
有些同学也许会注意到,中学课本中对随机变量独立性的定义是用形如
的概率定义的,但由于连续性随机变量取特定值的概率通常是
,故在更一般的情形下借助分布函数定义才是更加明智的选择。
性质
若随机变量
,
相互独立,则对于任意函数
,随机变量
与
相互独立。
Warning
有时候我们会研究相互独立的随机变量
,
的某一函数
(如
)的分布。
尽管
与
是独立的,但不能想当然地认为对
的某一取值
,
与
服从同样的分布。
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