条件概率与独立性

概述

当某事件已经发⽣时,一些随机事件的概率会因为已知信息的增加发⽣变化。例如在手游抽卡时,我们可能会认为单次抽卡出六星与不出六星是等概率的,但随着我们连抽 发一个六星都没有,再固执地认为「出六星与不出六星等概率」就显得不是那么明智。

总之,研究在某些已知条件下事件发生的概率是必要的。

条件概率

定义

若已知事件 发生,在此条件下事件 发生的概率称为 条件概率,记作

在概率空间 中,若事件 满足 ,则条件概率 定义为

可以验证根据上式定义出的 上的概率函数。

根据条件概率的定义可以直接推出下面两个等式:

  • 概率乘法公式:在概率空间 中,若 ,则对任意事件 都有
  • 全概率公式:在概率空间 中,若一组事件 两两不交且和为 ,则对任意事件 都有

Bayes 公式

一般来说,设可能导致事件 发生的原因为 ,则在 已知时可以通过全概率公式计算事件 发生的概率。但在很多情况下,我们需要根据“事件 发生”这一结果反推其各个原因事件的发生概率。于是有

上式即 Bayes 公式。

事件的独立性

在研究条件概率的过程中,可能会出现 的情况。从直观上讲就是事件 是否发生并不会告诉我们关于事件 的任何信息,即事件 与事件 「无关」。于是我们就有了下面的定义

定义

若同一概率空间中的事件 , 满足

则称 , 独立。对于多个事件 ,我们称其独立,当且仅当对任意一组事件 都有

多个事件的独立性

对于多个事件,一般不能从两两独立推出这些事件独立。考虑以下反例:

有一个正四面体骰子,其中三面被分别涂成红色、绿色、蓝色,另一面则三色皆有。现在扔一次该骰子,令事件 ,, 分别表示与桌面接触的一面包含红色、绿色、蓝色。

不难计算 ,而

显然 两两独立,但由于 ,故 不独立。