基本概念

概述

在研究具体的随机现象时我们通常着重关注以下要素:

  • 样本空间 ,指明随机现象所有可能出现的结果。
  • 事件域 ,表示我们所关心的所有事件。
  • 概率 ,描述每一个事件发生的可能性大小。

样本空间、随机事件

定义

一个随机现象中可能发生的不能再细分的结果被称为 样本点。所有样本点的集合称为 样本空间,通常用 来表示。

一个 随机事件 是样本空间 的子集,它由若干样本点构成,用大写字母 表示。

对于一个随机现象的结果 和一个随机事件 ,我们称事件 发生了 当且仅当

例如,掷一次骰子得到的点数是一个随机现象,其样本空间可以表示为 。设随机事件 为“获得的点数大于 ”,则 。若某次掷骰子得到的点数 ,由于 ,故事件 没有发生。

事件的运算

由于我们将随机事件定义为了样本空间 的子集,故我们可以将集合的运算(如交、并、补等)移植到随机事件上。记号与集合运算保持一致。

特别的,事件的并 也可记作 ,事件的交 也可记作 ,此时也可分别称作 和事件积事件

事件域

研究具体的随机现象时我们需要明确哪些事件是我们感兴趣的。根据随机事件的定义,显然有 (记号 表示由 的所有子集组成的集合族),但 却不是必须的。这在样本空间 有限时可能有些难以理解,毕竟 尽管更大了但仍然有限。而当 为无穷集时, 的势变得更大,其中也难免会出现一些“性质不太好”且我们不关心的事件,这时为了兼顾这些事件而放弃一些性质就显得得不偿失了。

尽管 不是必须的,这并不代表 的任一子集都能成为事件域。我们通常会对一些事件进行运算得到的结果事件的概率感兴趣,因此我们希望事件域 满足下列条件:

  • ,则补事件
  • 若有一列事件 ,则

简言之,就是事件域 对在补运算、和可数并下是封闭的,且包含元素

可以证明满足上述三个条件的事件域 对可数交也是封闭的。

以掷骰子为例,当样本空间记为 时,以下两个集合能够成为事件域:

但以下两个集合则不能

  • (对补不封闭)
  • (不含有 且对并不封闭)

概率

定义

古典定义

在概率论早期实践中,由于涉及到的随机现象都比较简单,具体表现为样本空间 是有限集,且直观上所有样本点是等可能出现的,因此人们便总结出了下述定义:

如果一个随机现象满足:

  • 只有有限个基本结果;
  • 每个基本结果出现的可能性是一样的;

那么对于每个事件 ,定义它的概率为

其中 表示对随机事件(一个集合)大小的度量。

后来人们发现这一定义可以直接推广到 无限的一部分情景中,于是就有了所谓 几何概型

公理化定义

上述基于直观认识的定义在逻辑上有一个很大的漏洞:在定义「概率」这一概念时用到了「可能性」这一说法,产生了循环定义的问题。同时「等可能」在样本空间无限时会产生歧义,由此产生了包括 Bertrand 悖论 在内的一系列问题。

经过不断探索,苏联数学家柯尔莫哥洛夫于 1933 年在他的《概率论基础》一书中第一次给出了概率的公理化定义:

概率函数 是一个从事件域 到闭区间 的映射,且满足:

  • 规范性:事件 的概率值为 ,即
  • 可数可加性:若一列事件 两两不交,则

概率函数的性质

对于任意随机事件 ,有

  • 单调性:若 ,则有
  • 容斥原理
  • ,这里 表示差集。

概率空间

我们在一开始提到,研究具体的随机现象时我们通常关注样本空间 、事件域 以及概率函数 。我们将三元组 称为一个概率空间。

概率只有在确定的概率空间下讨论才有意义。我们前面提到的 Bertrand 悖论归根结底就是因对样本空间 的定义不明确而产生的。

参考资料与注释