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多项式部分简介

前置知识

FFT,多项式乘法

Basic Concepts

多项式的度

对于一个多项式 f(x),称其最高次项的次数为该多项式的度(Degree),记作 \operatorname{deg}{f}

多项式的逆元

对于多项式 f(x),若存在 g(x)满足:

\begin{aligned} f(x) g(x) & \equiv 1 \pmod{x^{n}} \\ \operatorname{deg}{g} & \le \operatorname{deg}{f} \end{aligned}

则称 g(x)f(x)在模 x^{n}意义下的逆元(Inverse Element),记作 f^{-1}(x)

多项式的余数和商

对于多项式 f(x), g(x),存在唯一Q(x), R(x)满足:

\begin{aligned} f(x) &= Q(x) g(x) + R(x) \\ \operatorname{deg}{Q} &= \operatorname{deg}{f} - \operatorname{deg}{g} \\ \operatorname{deg}{R} &< \operatorname{deg}{g} \end{aligned}

我们称 Q(x)g(x)f(x)商(Quotient),R(x)$ 为 g(x)f(x)余数(Remainder)。 亦可记作

f(x) \equiv R(x) \pmod{g(x)}

多项式的对数函数与指数函数

对于一个多项式 f(x),可以将其对数函数看作其与麦克劳林级数的复合:

\ln{(1 - f(x))} = -\sum_{i = 1}^{+\infty} \frac{f^{i}(x)}{i} = \sum_{i = 1}^{+\infty} \frac{(-1)^{i - 1}f^{i}(x)}{i}

其指数函数同样可以这样定义:

\exp{f(x)} = e^{f(x)} = \sum_{i = 0}^{+\infty} \frac{f^{i}(x)}{i!}

多项式的多点求值和插值

多项式的多点求值(Multi-point evaluation) 即给出一个多项式 f(x)n个点 x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n},求

f(x_{1}), f(x_{2}), \dots, f(x_{n})

多项式的插值(Interpolation) 即给出 n + 1个点

(x_{0}, y_{0}), (x_{1}, y_{1}), \dots, (x_{n}, y_{n})

求一个 n次多项式 f(x)使得这 n + 1个点都在 f(x)上。

这两种操作的实质就是将多项式在系数表示点值表示间转化。

References


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