极坐标系

极坐标与极坐标系

(为人教版高中数学选修 4-4 内容)

某同学:学平面直角坐标系都学烦了,有没有其他坐标系?

我们考虑实际情况,比如航海,我们说「 B A 的北偏东 30^\circ 方向上,距离为 100 米」,而不是「以 A 为原点建立平面直角坐标系, B(50,50\sqrt 3) 」。

这样,我们在平面上选一定点 O ,称为 极点 ,自极点引出一条射线 Ox ,称为 极轴 ,再选择一个单位长度(在数学问题中通常为 1 ),一个角度单位(通常为弧度)及其正方向(通常为逆时针方向),这样就建立了 极坐标系

在极坐标系下,我们怎么描述位置呢?

A 为平面上一点,极点 O A 之间的距离 |OA| 即为 极径 ,记为 \rho ;以极轴为始边, OA 为终边的角 \angle xOA 极角 ,记为 \theta ,那么有序数对 (\rho,\theta) 即为 A 极坐标

由终边相同的角的定义可知, (\rho,\theta) (\rho,\theta+2k\pi)\ (k\in \mathbb{Z}) 其实表示的是一样的点,特别地,极点的极坐标为 (0,\theta)\ (\theta\in \mathbb{R}) ,于是平面内的点的极坐标表示有无数多种。

如果规定 \rho>0,0\le \theta<2\pi​ ,那么除极点外,其他平面内的点可以用唯一有序数对 (\rho,\theta)​ 表示,而极坐标 (\rho,\theta)​ 表示的点是唯一确定的。

当然,有时候研究极坐标系下的图形有些不方便,我们想要转到直角坐标系下研究,那么我们有互化公式。

A(\rho,\theta) 的直角坐标 (x,y) 可以如下表示:

\begin{cases} x=\rho \cos \theta\\ y=\rho \sin \theta \end{cases}

进而可知:

\rho ^2=x^2+y^2\\ \tan \theta=\frac{y}{x}\ \ \ \ (x\not =0)

于是,极角 \theta=\arctan \frac{y}{x} ,这样就可以求出极角了。

在编程中,若要求反正切函数,尽量使用 atan2(y, x) ,这个函数用途比 atan(x) 广泛。


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