莫比乌斯反演

引入

莫比乌斯反演是数论中的重要内容。对于一些函数 $f (n)$ ，如果很难直接求出它的值，而容易求出其倍数和或约数和 $g (n)$ ，那么可以通过莫比乌斯反演简化运算，求得 $f (n)$ 的值。

开始学习莫比乌斯反演前，需要先学习一些前置知识：数论分块、狄利克雷卷积。

莫比乌斯函数

定义

$μ$ 为莫比乌斯函数，定义为

μ (n) = {\begin{cases} 1 & n = 1 \\ 0 & n 含有平方因子 \\ (- 1)^{k} & k 为 n 的本质不同质因子个数 \end{cases}

详细解释一下：

令 $n = \prod_{i = 1}^{k} p_{i}^{c_{i}}$ ，其中 $p_{i}$ 为质因子， $c_{i} \geq 1$ 。上述定义表示：

$n = 1$ 时， $μ (n) = 1$ ；
对于 $n \neq 1$ $n\not= 1$ 时：
1. 当存在 $i \in [1, k]$ ，使得 $c_{i} > 1$ 时， $μ (n) = 0$ ，也就是说只要某个质因子出现的次数超过一次， $μ (n)$ 就等于 $0$ ；
2. 当任意 $i \in [1, k]$ ，都有 $c_{i} = 1$ 时， $μ (n) = (- 1)^{k}$ ，也就是说每个质因子都仅仅只出现过一次时，即 $n = \prod_{i = 1}^{k} p_{i}$ ， ${p_{i}}_{i = 1}^{k}$ 中个元素唯一时， $μ (n)$ 等于 $- 1$ 的 $k$ 次幂，此处 $k$ 指的便是仅仅只出现过一次的质因子的总个数。

性质

莫比乌斯函数不仅是积性函数，还有如下性质：

\sum_{d ∣ n} μ (d) = {\begin{cases} 1 & n = 1 \\ 0 & n \neq 1 \end{cases}

即 $\sum_{d ∣ n} μ (d) = ε (n)$ ， $μ * 1 = ε$

证明

设 $n = \prod_{i = 1}^{k} {p_{i}}^{c_{i}}, n^{'} = \prod_{i = 1}^{k} p_{i}$

那么 $\sum_{d ∣ n} μ (d) = \sum_{d ∣ n^{'}} μ (d) = \sum_{i = 0}^{k} (\binom{k}{i}) \cdot (- 1)^{i} = (1 + (- 1))^{k}$

根据二项式定理，易知该式子的值在 $k = 0$ 即 $n = 1$ 时值为 $1$ 否则为 $0$ ，这也同时证明了 $\sum_{d ∣ n} μ (d) = [n = 1] = ε (n)$ 以及 $μ * 1 = ε$

注

这个性质意味着，莫比乌斯函数在狄利克雷生成函数中，等价于黎曼函数 $ζ$ 的倒数。所以在狄利克雷卷积中，莫比乌斯函数是常数函数 $1$ 的逆元。

补充结论

反演结论： $[gcd (i, j) = 1] = \sum_{d ∣ gcd (i, j)} μ (d)$

直接推导：如果看懂了上一个结论，这个结论稍加思考便可以推出：如果 $gcd (i, j) = 1$ 的话，那么代表着我们按上个结论中枚举的那个 $n$ 是 $1$ ，也就是式子的值是 $1$ ，反之，有一个与 $[gcd (i, j) = 1]$ 相同的值： $0$

利用 $ε$ 函数：根据上一结论， $[gcd (i, j) = 1] = ε (gcd (i, j))$ ，将 $ε$ 展开即可。

线性筛

由于 $μ$ 函数为积性函数，因此可以线性筛莫比乌斯函数（线性筛基本可以求所有的积性函数，尽管方法不尽相同）。

线性筛实现

C++Python

void getMu() {
  mu[1] = 1;
  for (int i = 2; i <= n; ++i) {
    if (!flg[i]) p[++tot] = i, mu[i] = -1;
    for (int j = 1; j <= tot && i * p[j] <= n; ++j) {
      flg[i * p[j]] = 1;
      if (i % p[j] == 0) {
        mu[i * p[j]] = 0;
        break;
      }
      mu[i * p[j]] = -mu[i];
    }
  }
}

def getMu():
    mu[1] = 1
    for i in range(2, n + 1):
        if flg[i] != 0:
            tot = tot + 1
            p[tot] = i
            mu[i] = -1
        j = 1
        while j <= tot and i * p[j] <= n:
            flg[i * p[j]] = 1
            if i % p[j] == 0:
                mu[i * p[j]] = 0
                break
            mu[i * p[j]] = mu[i * p[j]] - mu[i]
            j = j + 1

拓展

证明

φ * 1 = id

将 $n$ 分解质因数： $n = \prod_{i = 1}^{k} {p_{i}}^{c_{i}}$

首先，因为 $φ$ 是积性函数，故只要证明当 $n^{'} = p^{c}$ 时 $φ * 1 = \sum_{d ∣ n^{'}} φ (\frac{n^{'}}{d}) = id$ 成立即可。

因为 $p$ 是质数，于是 $d = p^{0}, p^{1}, p^{2}, \dots, p^{c}$

易知如下过程：

\begin{aligned} φ * 1 & = \sum_{d ∣ n} φ (\frac{n}{d}) \\ = \sum_{i = 0}^{c} φ (p^{i}) \\ = 1 + p^{0} \cdot (p - 1) + p^{1} \cdot (p - 1) + \dots + p^{c - 1} \cdot (p - 1) \\ = p^{c} \\ = id \end{aligned}

该式子两侧同时卷 $μ$ 可得 $φ (n) = \sum_{d ∣ n} d \cdot μ (\frac{n}{d})$

莫比乌斯变换

设 $f (n), g (n)$ 为两个数论函数。

形式一：如果有 $f (n) = \sum_{d ∣ n} g (d)$ ，那么有 $g (n) = \sum_{d ∣ n} μ (d) f (\frac{n}{d})$ 。

这种形式下，数论函数 $f (n)$ 称为数论函数 $g (n)$ 的莫比乌斯变换，数论函数 $g (n)$ 称为数论函数 $f (n)$ 的莫比乌斯逆变换（反演）。

容易看出，数论函数 $g (n)$ 的莫比乌斯变换，就是将数论函数 $g (n)$ 与常数函数 $1$ 进行狄利克雷卷积。

注

根据狄利克雷卷积与狄利克雷生成函数的对应关系，数论函数 $g (n)$ 的莫比乌斯变换对应的狄利克雷生成函数，就是数论函数 $g (n)$ 的狄利克雷生成函数与黎曼函数 $ζ$ 的乘积。

形式二：如果有 $f (n) = \sum_{n | d} g (d)$ ，那么有 $g (n) = \sum_{n | d} μ (\frac{d}{n}) f (d)$ 。

证明

方法一：对原式做数论变换。

\sum_{d ∣ n} μ (d) f (\frac{n}{d}) = \sum_{d ∣ n} μ (d) \sum_{k ∣ \frac{n}{d}} g (k) = \sum_{k ∣ n} g (k) \sum_{d ∣ \frac{n}{k}} μ (d) = g (n)

用 $\sum_{d ∣ n} g (d)$ 来替换 $f (\frac{n}{d})$ ，再变换求和顺序。最后一步变换的依据： $\sum_{d ∣ n} μ (d) = [n = 1]$ ，因此在 $\frac{n}{k} = 1$ 时第二个和式的值才为 $1$ 。此时 $n = k$ ，故原式等价于 $\sum_{k ∣ n} [n = k] \cdot g (k) = g (n)$

方法二：运用卷积。

原问题为：已知 $f = g * 1$ ，证明 $g = f * μ$

易知如下转化： $f * μ = g * 1 * μ ⟹ f * μ = g$ （其中 $1 * μ = ε$ ）。

对于第二种形式：

类似上面的方法一，我们考虑逆推这个式子。

\begin{aligned} \sum_{n | d} μ (\frac{d}{n}) f (d) \\ = & \sum_{k = 1}^{+ \infty} μ (k) f (k n) = \sum_{k = 1}^{+ \infty} μ (k) \sum_{k n | d} g (d) \\ = & \sum_{n | d} g (d) \sum_{k | \frac{d}{n}} μ (k) = \sum_{n | d} g (d) ϵ (\frac{d}{n}) \\ = & g (n) \end{aligned}

我们把 $d$ 表示为 $k n$ 的形式，然后把 $f$ 的原定义代入式子。

发现枚举 $k$ 再枚举 $k n$ 的倍数可以转换为直接枚举 $n$ 的倍数再求出 $k$ ，发现后面那一块其实就是 $ϵ$ , 整个式子只有在 $d = n$ 的时候才能取到值。

问题形式

「HAOI 2011」Problem b

求值（多组数据）

\sum_{i = x}^{n} \sum_{j = y}^{m} [gcd (i, j) = k] (1 ⩽ T, x, y, n, m, k ⩽ 5 \times 10^{4})

根据容斥原理，原式可以分成 $4$ 块来处理，每一块的式子都为

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} [gcd (i, j) = k]

考虑化简该式子

\sum_{i = 1}^{⌊ \frac{n}{k} ⌋} \sum_{j = 1}^{⌊ \frac{m}{k} ⌋} [gcd (i, j) = 1]

因为 $gcd (i, j) = 1$ 时对答案才用贡献，于是我们可以将其替换为 $ε (gcd (i, j))$ （ $ε (n)$ 当且仅当 $n = 1$ 时值为 $1$ 否则为 $0$ ），故原式化为

\sum_{i = 1}^{⌊ \frac{n}{k} ⌋} \sum_{j = 1}^{⌊ \frac{m}{k} ⌋} ε (gcd (i, j))

将 $ε$ 函数展开得到

\sum_{i = 1}^{⌊ \frac{n}{k} ⌋} \sum_{j = 1}^{⌊ \frac{m}{k} ⌋} \sum_{d ∣ gcd (i, j)} μ (d)

变换求和顺序，先枚举 $d ∣ gcd (i, j)$ 可得

\sum_{d = 1} μ (d) \sum_{i = 1}^{⌊ \frac{n}{k} ⌋} [d ∣ i] \sum_{j = 1}^{⌊ \frac{m}{k} ⌋} [d ∣ j]

易知 $1 \sim ⌊ \frac{n}{k} ⌋$ 中 $d$ 的倍数有 $⌊ \frac{n}{k d} ⌋$ 个，故原式化为

\sum_{d = 1}^{min (⌊ \frac{n}{k} ⌋, ⌊ \frac{m}{k} ⌋)} μ (d) ⌊ \frac{n}{k d} ⌋ ⌊ \frac{m}{k d} ⌋

很显然，式子可以数论分块求解。

时间复杂度 $Θ (N + T \sqrt{n})$

代码实现

#include <algorithm>
#include <iostream>
using namespace std;
constexpr int N = 50000;
int mu[N + 5], p[N + 5];
bool flg[N + 5];

void init() {
  int tot = 0;
  mu[1] = 1;
  for (int i = 2; i <= N; ++i) {
    if (!flg[i]) {
      p[++tot] = i;
      mu[i] = -1;
    }
    for (int j = 1; j <= tot && i * p[j] <= N; ++j) {
      flg[i * p[j]] = true;
      if (i % p[j] == 0) {
        mu[i * p[j]] = 0;
        break;
      }
      mu[i * p[j]] = -mu[i];
    }
  }
  for (int i = 1; i <= N; ++i) mu[i] += mu[i - 1];
}

int solve(int n, int m) {
  int res = 0;
  for (int i = 1, j; i <= min(n, m); i = j + 1) {
    j = min(n / (n / i), m / (m / i));
    res += (mu[j] - mu[i - 1]) * (n / i) * (m / i);  // 代推出来的式子
  }
  return res;
}

int main() {
  cin.tie(nullptr)->sync_with_stdio(false);
  int T, a, b, c, d, k;
  init();  // 预处理mu数组
  cin >> T;
  for (int i = 1; i <= T; i++) {
    cin >> a >> b >> c >> d >> k;
    // 根据容斥原理，1<=x<=b&&1<=y<=d范围中的答案数减去1<=x<=b&&1<=y<=c-1范围中的答案数和
    //   1<=x<=a-1&&1<=y<=d范围中的答案数再加上1<=x<=a-1&&1<=y<=c-1范围中的答案数
    //   即可得到a<=x<=b&&c<=y<=d范围中的答案数
    // 这一步如果不懂可以画坐标图进行理解
    cout << solve(b / k, d / k) - solve(b / k, (c - 1) / k) -
                solve((a - 1) / k, d / k) + solve((a - 1) / k, (c - 1) / k)
         << '\n';
  }
  return 0;
}

「SPOJ 5971」LCMSUM

求值（多组数据）

\sum_{i = 1}^{n} lcm (i, n) s.t. 1 ⩽ T ⩽ 3 \times 10^{5}, 1 ⩽ n ⩽ 10^{6}

易得原式即

\sum_{i = 1}^{n} \frac{i \cdot n}{gcd (i, n)}

将原式复制一份并且颠倒顺序，然后将 n 一项单独提出，可得

\frac{1}{2} \cdot (\sum_{i = 1}^{n - 1} \frac{i \cdot n}{gcd (i, n)} + \sum_{i = n - 1}^{1} \frac{i \cdot n}{gcd (i, n)}) + n

根据 $gcd (i, n) = gcd (n - i, n)$ ，可将原式化为

\frac{1}{2} \cdot (\sum_{i = 1}^{n - 1} \frac{i \cdot n}{gcd (i, n)} + \sum_{i = n - 1}^{1} \frac{i \cdot n}{gcd (n - i, n)}) + n

两个求和式中分母相同的项可以合并。

\frac{1}{2} \cdot \sum_{i = 1}^{n - 1} \frac{n^{2}}{gcd (i, n)} + n

即

\frac{1}{2} \cdot \sum_{i = 1}^{n} \frac{n^{2}}{gcd (i, n)} + \frac{n}{2}

可以将相同的 $gcd (i, n)$ 合并在一起计算，故只需要统计 $gcd (i, n) = d$ 的个数。当 $gcd (i, n) = d$ 时， $gcd (\frac{i}{d}, \frac{n}{d}) = 1$ ，所以 $gcd (i, n) = d$ 的个数有 $φ (\frac{n}{d})$ 个。

故答案为

\frac{1}{2} \cdot \sum_{d ∣ n} \frac{n^{2} \cdot φ (\frac{n}{d})}{d} + \frac{n}{2}

变换求和顺序，设 $d^{'} = \frac{n}{d}$ ，合并公因式，式子化为

\frac{1}{2} n \cdot (\sum_{d^{'} ∣ n} d^{'} \cdot φ (d^{'}) + 1)

设 $g (n) = \sum_{d ∣ n} d \cdot φ (d)$ ，已知 $g$ 为积性函数，于是可以 $Θ (n)$ 筛出。每次询问 $Θ (1)$ 计算即可。

下面给出这个函数筛法的推导过程：

首先考虑 $g (p_{j}^{k})$ 的值，显然它的约数只有 $p_{j}^{0}, p_{j}^{1}, \dots, p_{j}^{k}$ ，因此

g (p_{j}^{k}) = \sum_{w = 0}^{k} p_{j}^{w} \cdot φ (p_{j}^{w})

又有 $φ (p_{j}^{w}) = p_{j}^{w - 1} \cdot (p_{j} - 1)$ ，则原式可化为

\sum_{w = 0}^{k} p_{j}^{2 w - 1} \cdot (p_{j} - 1)

于是有

g (p_{j}^{k + 1}) = g (p_{j}^{k}) + p_{j}^{2 k + 1} \cdot (p_{j} - 1)

那么，对于线性筛中的 $g (i \cdot p_{j}) (p_{j} | i)$ ，令 $i = a \cdot p_{j}^{w} (\gcd (a, p_{j}) = 1)$ ，可得

g (i \cdot p_{j}) = g (a) \cdot g (p_{j}^{w + 1})

g (i) = g (a) \cdot g (p_{j}^{w})

即

g (i \cdot p_{j}) - g (i) = g (a) \cdot p_{j}^{2 w + 1} \cdot (p_{j} - 1)

同理有

g (i) - g (\frac{i}{p_{j}}) = g (a) \cdot p_{j}^{2 w - 1} \cdot (p_{j} - 1)

因此

g (i \cdot p_{j}) = g (i) + (g (i) - g (\frac{i}{p_{j}})) \cdot p_{j}^{2}

时间复杂度： $Θ (n + T)$

代码实现

#include <iostream>
constexpr int N = 1000000;
int tot, p[N + 5];
long long g[N + 5];
bool flg[N + 5];  // 标记数组

void solve() {
  g[1] = 1;
  for (int i = 2; i <= N; ++i) {
    if (!flg[i]) {
      p[++tot] = i;
      g[i] = (long long)1 * i * (i - 1) + 1;
    }
    for (int j = 1; j <= tot && i * p[j] <= N; ++j) {
      flg[i * p[j]] = true;
      if (i % p[j] == 0) {
        g[i * p[j]] =
            g[i] + (g[i] - g[i / p[j]]) * p[j] * p[j];  // 代入推出来的式子
        break;
      }
      g[i * p[j]] = g[i] * g[p[j]];
    }
  }
}

using std::cin;
using std::cout;

int main() {
  cin.tie(nullptr)->sync_with_stdio(false);
  int T, n;
  solve();  // 预处理g数组
  cin >> T;
  for (int i = 1; i <= T; ++i) {
    cin >> n;
    cout << (g[n] + 1) * n / 2 << '\n';
  }
  return 0;
}

「BZOJ 2154」Crash 的数字表格

求值（对 $20101009$ 取模）

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} lcm (i, j) (n, m ⩽ 10^{7})

易知原式等价于

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} \frac{i \cdot j}{gcd (i, j)}

枚举最大公因数 $d$ ，显然两个数除以 $d$ 得到的数互质

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} \sum_{d ∣ i, d ∣ j, gcd (\frac{i}{d}, \frac{j}{d}) = 1} \frac{i \cdot j}{d}

非常经典的 $gcd$ 式子的化法

\sum_{d = 1}^{n} d \cdot \sum_{i = 1}^{⌊ \frac{n}{d} ⌋} \sum_{j = 1}^{⌊ \frac{m}{d} ⌋} [gcd (i, j) = 1] i \cdot j

后半段式子中，出现了互质数对之积的和，为了让式子更简洁就把它拿出来单独计算。于是我们记

sum (n, m) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} [gcd (i, j) = 1] i \cdot j

接下来对 $sum (n, m)$ 进行化简。首先枚举约数，并将 $[gcd (i, j) = 1]$ 表示为 $ε (gcd (i, j))$

\sum_{d = 1}^{n} \sum_{d ∣ i}^{n} \sum_{d ∣ j}^{m} μ (d) \cdot i \cdot j

设 $i = i^{'} \cdot d$ ， $j = j^{'} \cdot d$ ，显然式子可以变为

\sum_{d = 1}^{n} μ (d) \cdot d^{2} \cdot \sum_{i = 1}^{⌊ \frac{n}{d} ⌋} \sum_{j = 1}^{⌊ \frac{m}{d} ⌋} i \cdot j

观察上式，前半段可以预处理前缀和；后半段又是一个范围内数对之和，记

g (n, m) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} i \cdot j = \frac{n \cdot (n + 1)}{2} \times \frac{m \cdot (m + 1)}{2}

可以 $Θ (1)$ 求解

至此

sum (n, m) = \sum_{d = 1}^{n} μ (d) \cdot d^{2} \cdot g (⌊ \frac{n}{d} ⌋, ⌊ \frac{m}{d} ⌋)

我们可以 $⌊ \frac{n}{⌊ \frac{n}{d} ⌋} ⌋$ 数论分块求解 $sum (n, m)$ 函数。

在求出 $sum (n, m)$ 后，回到定义 $sum$ 的地方，可得原式为

\sum_{d = 1}^{n} d \cdot sum (⌊ \frac{n}{d} ⌋, ⌊ \frac{m}{d} ⌋)

可见这又是一个可以数论分块求解的式子！

本题除了推式子比较复杂、代码细节较多之外，是一道很好的莫比乌斯反演练习题！（上述过程中，默认 $n ⩽ m$ ）

时间复杂度： $Θ (n + m)$ （瓶颈为线性筛）

代码实现

#include <algorithm>
#include <iostream>
using namespace std;

constexpr int N = 1e7;
constexpr int mod = 20101009;
int n, m, mu[N + 5], p[N / 10 + 5], sum[N + 5];
bool flg[N + 5];

int Sum(int x, int y) {
  return ((long long)1 * x * (x + 1) / 2 % mod) *
         ((long long)1 * y * (y + 1) / 2 % mod) % mod;
}

int func(int x, int y) {
  int res = 0;
  int j;
  for (int i = 1; i <= min(x, y); i = j + 1) {
    j = min(x / (x / i), y / (y / i));
    res = (res + (long long)1 * (sum[j] - sum[i - 1] + mod) *
                     Sum(x / i, y / i) % mod) %
          mod;  //+mod防负数
  }
  return res;
}

int solve(int x, int y) {
  int res = 0;
  int j;
  for (int i = 1; i <= min(x, y); i = j + 1) {  // 整除分块处理
    j = min(x / (x / i), y / (y / i));
    res = (res + (long long)1 * (j - i + 1) * (i + j) / 2 % mod *
                     func(x / i, y / i) % mod) %
          mod;  // ！每步取模防爆
  }
  return res;
}

void init() {  // 线性筛
  mu[1] = 1;
  int tot = 0, k = min(n, m);
  for (int i = 2; i <= k; ++i) {
    if (!flg[i]) {
      p[++tot] = i;
      mu[i] = -1;
    }
    for (int j = 1; j <= tot && i * p[j] <= k; ++j) {
      flg[i * p[j]] = true;
      if (i % p[j] == 0) {
        mu[i * p[j]] = 0;
        break;
      }
      mu[i * p[j]] = -mu[i];
    }
  }
  for (int i = 1; i <= k; ++i)
    sum[i] = (sum[i - 1] + (long long)1 * i * i % mod * (mu[i] + mod)) % mod;
}

int main() {
  cin >> n >> m;
  init();
  cout << solve(n, m) << '\n';
}

「SDOI2015」约数个数和

多组数据，求

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} d (i \cdot j) (n, m, T \leq 5 \times 10^{4})

其中 $d (n) = \sum_{i ∣ n} 1$ ， $d (n)$ 表示 $n$ 的约数个数

要推这道题首先要了解 $d$ 函数的一个特殊性质

d (i \cdot j) = \sum_{x ∣ i} \sum_{y ∣ j} [gcd (x, y) = 1]

再化一下这个式子

\begin{aligned} d (i \cdot j) = & \sum_{x ∣ i} \sum_{y ∣ j} [gcd (x, y) = 1] \\ = & \sum_{x ∣ i} \sum_{y ∣ j} \sum_{p ∣ gcd (x, y)} μ (p) \\ = & \sum_{p = 1}^{m i n (i, j)} \sum_{x ∣ i} \sum_{y ∣ j} [p ∣ gcd (x, y)] \cdot μ (p) \\ = & \sum_{p ∣ i, p ∣ j} μ (p) \sum_{x ∣ i} \sum_{y ∣ j} [p ∣ gcd (x, y)] \\ = & \sum_{p ∣ i, p ∣ j} μ (p) \sum_{x ∣ \frac{i}{p}} \sum_{y ∣ \frac{j}{p}} 1 \\ = & \sum_{p ∣ i, p ∣ j} μ (p) d (\frac{i}{p}) d (\frac{j}{p}) \end{aligned}

将上述式子代回原式

\begin{aligned} \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} d (i \cdot j) \\ = & \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} \sum_{p ∣ i, p ∣ j} μ (p) d (\frac{i}{p}) d (\frac{j}{p}) \\ = & \sum_{p = 1}^{m i n (n, m)} \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} [p ∣ i, p ∣ j] \cdot μ (p) d (\frac{i}{p}) d (\frac{j}{p}) \\ = & \sum_{p = 1}^{m i n (n, m)} \sum_{i = 1}^{⌊ \frac{n}{p} ⌋} \sum_{j = 1}^{⌊ \frac{m}{p} ⌋} μ (p) d (i) d (j) \\ = & \sum_{p = 1}^{m i n (n, m)} μ (p) \sum_{i = 1}^{⌊ \frac{n}{p} ⌋} d (i) \sum_{j = 1}^{⌊ \frac{m}{p} ⌋} d (j) \\ = & \sum_{p = 1}^{m i n (n, m)} μ (p) S (⌊ \frac{n}{p} ⌋) S (⌊ \frac{m}{p} ⌋) (S (n) = \sum_{i = 1}^{n} d (i)) \end{aligned}

那么 $O (n)$ 预处理 $μ, d$ 的前缀和， $O (\sqrt{n})$ 分块处理询问，总复杂度 $O (n + T \sqrt{n})$ .

代码实现

#include <algorithm>
#include <iostream>
using namespace std;
constexpr long long N = 5e4 + 5;
long long n, m, T, pr[N], mu[N], d[N], t[N],
    cnt;  // t 表示 i 的最小质因子出现的次数
bool bp[N];

void prime_work(long long k) {
  bp[0] = bp[1] = true, mu[1] = 1, d[1] = 1;
  for (long long i = 2; i <= k; i++) {  // 线性筛
    if (!bp[i]) pr[++cnt] = i, mu[i] = -1, d[i] = 2, t[i] = 1;
    for (long long j = 1; j <= cnt && i * pr[j] <= k; j++) {
      bp[i * pr[j]] = true;
      if (i % pr[j] == 0) {
        mu[i * pr[j]] = 0;
        d[i * pr[j]] = d[i] / (t[i] + 1) * (t[i] + 2);
        t[i * pr[j]] = t[i] + 1;
        break;
      } else {
        mu[i * pr[j]] = -mu[i];
        d[i * pr[j]] = d[i] << 1;
        t[i * pr[j]] = 1;
      }
    }
  }
  for (long long i = 2; i <= k; i++)
    mu[i] += mu[i - 1], d[i] += d[i - 1];  // 求前缀和
}

long long solve() {
  long long res = 0, mxi = min(n, m);
  for (long long i = 1, j; i <= mxi; i = j + 1) {  // 整除分块
    j = min(n / (n / i), m / (m / i));
    res += d[n / i] * d[m / i] * (mu[j] - mu[i - 1]);
  }
  return res;
}

int main() {
  cin.tie(nullptr)->sync_with_stdio(false);
  cin >> T;
  prime_work(50000);  // 预处理
  while (T--) {
    cin >> n >> m;
    cout << solve() << '\n';
  }
  return 0;
}

莫比乌斯反演扩展

结尾补充一个莫比乌斯反演的非卷积形式。

对于数论函数 $f, g$ 和完全积性函数 $t$ 且 $t (1) = 1$ ：

\begin{matrix} f (n) = \sum_{i = 1}^{n} t (i) g (⌊ \frac{n}{i} ⌋) \\ ⟺ \\ g (n) = \sum_{i = 1}^{n} μ (i) t (i) f (⌊ \frac{n}{i} ⌋) \end{matrix}

我们证明一下

\begin{aligned} g (n) & = \sum_{i = 1}^{n} μ (i) t (i) f (⌊ \frac{n}{i} ⌋) \\ = \sum_{i = 1}^{n} μ (i) t (i) \sum_{j = 1}^{⌊ \frac{n}{i} ⌋} t (j) g (⌊ \frac{⌊ \frac{n}{i} ⌋}{j} ⌋) \\ = \sum_{i = 1}^{n} μ (i) t (i) \sum_{j = 1}^{⌊ \frac{n}{i} ⌋} t (j) g (⌊ \frac{n}{i j} ⌋) \\ = \sum_{T = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{n} μ (i) t (i) \sum_{j = 1}^{⌊ \frac{n}{i} ⌋} [i j = T] t (j) g (⌊ \frac{n}{T} ⌋) & 【先枚举 ij 乘积】 \\ = \sum_{T = 1}^{n} \sum_{i ∣ T} μ (i) t (i) t (\frac{T}{i}) g (⌊ \frac{n}{T} ⌋) & 【 \sum_{j = 1}^{⌊ \frac{n}{i} ⌋} [i j = T] 对答案的贡献为 1，于是省略】 \\ = \sum_{T = 1}^{n} g (⌊ \frac{n}{T} ⌋) \sum_{i ∣ T} μ (i) t (i) t (\frac{T}{i}) \\ = \sum_{T = 1}^{n} g (⌊ \frac{n}{T} ⌋) \sum_{i ∣ T} μ (i) t (T) & 【t 是完全积性函数】 \\ = \sum_{T = 1}^{n} g (⌊ \frac{n}{T} ⌋) t (T) \sum_{i ∣ T} μ (i) \\ = \sum_{T = 1}^{n} g (⌊ \frac{n}{T} ⌋) t (T) ε (T) & 【 μ * 1 = ε 】 \\ = g (n) t (1) & 【当且仅当 T=1, ε (T) = 1 时】 \\ = g (n) & ◻ \end{aligned}

参考文献

algocode 算法博客

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