欧拉函数

定义

欧拉函数(Euler's totient function),即 ,表示的是小于等于 互质的数的个数。

比如说

当 n 是质数的时候,显然有

性质

  • 欧拉函数是积性函数。

    积性是什么意思呢?如果有 ,那么

    特别地,当 是奇数时

  • 证明

    利用 莫比乌斯反演 相关知识可以得出。

    也可以这样考虑:如果 ,那么

    如果我们设 表示 的数的个数,那么

    根据上面的证明,我们发现,,从而 。注意到约数 具有对称性,所以上式化为

  • ,其中 是质数,那么 。 (根据定义可知)

  • 由唯一分解定理,设 ,其中 是质数,有

    证明
    • 引理:设 为任意质数,那么

      证明:显然对于从 1 到 的所有数中,除了 的倍数以外其它数都与 互素,故 ,证毕。

      接下来我们证明 。由唯一分解定理与 函数的积性

实现

如果只要求一个数的欧拉函数值,那么直接根据定义质因数分解的同时求就好了。这个过程可以用 Pollard Rho 算法优化。

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// C++ Version
int euler_phi(int n) {
  int m = int(sqrt(n + 0.5));
  int ans = n;
  for (int i = 2; i <= m; i++)
    if (n % i == 0) {
      ans = ans / i * (i - 1);
      while (n % i == 0) n /= i;
    }
  if (n > 1) ans = ans / n * (n - 1);
  return ans;
}
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# Python Version
def euler_phi(n):
    m = int(sqrt(n + 0.5))
    ans = n
    for i in range(2, m + 1):
        if n % i == 0:
            ans = ans // i * (i - 1)
            while n % i == 0:
                n = n // i
    if n > 1:
        ans = ans // n * (n - 1)
    return ans

注:如果将上面的程序改成如下形式,会提升一点效率:

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// C++ Version
int euler_phi(int n) {
  int ans = n;
  for (int i = 2; i * i <= n; i++)
    if (n % i == 0) {
      ans = ans / i * (i - 1);
      while (n % i == 0) n /= i;
    }
  if (n > 1) ans = ans / n * (n - 1);
  return ans;
}
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# Python Version
def euler_phi(n):
    ans = n
    for i in range(2, int(sqrt(n)) + 1):
        if n % i == 0:
            ans = ans // i * (i - 1)
            while n % i == 0:
                n = n / i
    if n > 1:
        ans = ans // n * (n - 1)
    return ans

如果是多个数的欧拉函数值,可以利用后面会提到的线性筛法来求得。 详见:筛法求欧拉函数

欧拉定理

与欧拉函数紧密相关的一个定理就是欧拉定理。其描述如下:

,则

扩展欧拉定理

当然也有扩展欧拉定理

证明和 习题 详见 欧拉定理


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