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线性方程

介绍

形如 ax \equiv b \pmod c 的方程被称为线性同余方程

[NOIp 2012] 同余方程

求解方法

根据以下两个定理,我们可以求出同余方程 ax \equiv b \pmod c 的解。

定理 1:

方程 ax+by=c 与方程 ax \equiv c \pmod b 是等价的,有整数解的充要条件为 \gcd(a,b) \mid c

根据定理 1,方程 ax+by=c ,我们可以先用扩展欧几里得算法求出一组 x_0,y_0 ,也就是 ax_0+by_0=\gcd(a,b) ,然后两边同时除以 \gcd(a,b) ,再乘 c 。然后就得到了方程 acx_0/\gcd(a,b)+bcy_0/\gcd(a,b)=c ,然后我们就找到了方程的一个解。

定理 2:

\gcd(a,b)=1 ,且 x_0,y_0 为方程 ax+by=c 的一组解,则该方程的任意解可表示为: x=x_0+bt,y=y_0+at , 且对任意整数 t 都成立。

根据定理 2,可以求出方程的所有解。但在实际问题中,我们往往被要求求出一个最小整数解,也就是一个特解 x,t=b/\gcd(a,b),x=(x \mod t+t)\mod t

代码:

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int ex_gcd(int a, int b, int& x, int& y) {
  if (b == 0) {
    x = 1;
    y = 0;
    return a;
  }
  int d = ex_gcd(b, a % b, x, y);
  int temp = x;
  x = y;
  y = temp - a / b * y;
  return d;
}
bool liEu(int a, int b, int c, int& x, int& y) {
  int d = ex_gcd(a, b, x, y);
  if (c % d != 0) return 0;
  int k = c / d;
  x *= k;
  y *= k;
  return 1;
}

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