向量

在本文之前，特别说明一下翻译的相关问题。由于历史原因，数学学科和物理学科关于「vector」一词的翻译不同。

在物理学科，一般翻译成「矢量」，并且与「标量」一词相对。在数学学科，一般翻译成「向量」。这种翻译的差别还有「本征」与「特征」、「幺正」与「酉」，等等。

在 OI Wiki，主要面向计算机等工程类相关学科，与数学学科关系更近一些，因此采用「向量」这个词汇。

定义及相关概念

向量：既有大小又有方向的量称为向量。数学上研究的向量为 自由向量，即只要不改变它的大小和方向，起点和终点可以任意平行移动的向量。记作 $\vec a$ 或 $\boldsymbol{a}$ 。

有向线段：带有方向的线段称为有向线段。有向线段有三要素：起点，方向，长度，知道了三要素，终点就唯一确定。一般使用有向线段表示向量。

向量的模：有向线段 $\overrightarrow{AB}$ 的长度称为向量的模，即为这个向量的大小。记为： $|\overrightarrow{AB}|$ 或 $|\boldsymbol{a}|$ 。

零向量：模为的向量。零向量的方向任意。记为： $\vec 0$ 或 $\boldsymbol{0}$ 。

单位向量：模为的向量称为该方向上的单位向量。一般记为 $\vec e$ 或 $\boldsymbol{e}$ 。

平行向量：方向相同或相反的两个非零向量。记作： $\boldsymbol a\parallel \boldsymbol b$ 。对于多个互相平行的向量，可以任作一条直线与这些向量平行，那么任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量又叫 共线向量。

相等向量：模相等且方向相同的向量。

相反向量：模相等且方向相反的向量。

向量的夹角：已知两个非零向量 $\boldsymbol a,\boldsymbol b$ ，作 $\overrightarrow{OA}=\boldsymbol a,\overrightarrow{OB}=\boldsymbol b$ ，那么 $\theta=\angle AOB$ 就是向量 $\boldsymbol a$ 与向量 $\boldsymbol b$ 的夹角。记作： $\langle \boldsymbol a,\boldsymbol b\rangle$ 。显然当 $\theta=0$ 时两向量同向， $\theta=\pi$ 时两向量反向， $\theta=\frac{\pi}{2}$ 时两向量垂直，记作 $\boldsymbol a\perp \boldsymbol b$ ，并且规定 $\theta \in [0,\pi]$ 。

注意到平面向量具有方向性，两个向量不能比较大小（但可以比较两向量的模长）。但是两个向量可以相等。

向量的线性运算

向量的加减法

在定义了一种量之后，就希望让它具有运算。向量的运算可以类比数的运算，从物理学的角度出发也可以研究向量的运算。

类比物理学中的位移概念，假如一个人从经走到，那么他经过的位移为 $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ ，这其实等价于这个人直接从走到，即 $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ 。

注意到力的合成法则——平行四边形法则，同样也可以看做一些向量相加。

整理一下向量的加法法则：

向量加法的三角形法则：若要求和的向量首尾顺次相连，那么这些向量的和为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点；
向量加法的平行四边形法则：若要求和的两个向量 共起点，那么它们的和向量为以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线，起点为两个向量共有的起点，方向沿平行四边形对角线方向。

这样，向量的加法就具有了几何意义。并且可以验证，向量的加法满足 交换律与结合律。

因为实数的减法可以写成加上相反数的形式，考虑在向量做减法时也这么写。即： $\boldsymbol a-\boldsymbol b=\boldsymbol a+(-\boldsymbol b)$ 。

这样，考虑共起点的向量，按照平行四边形法则做出它们的差，经过平移后可以发现 「共起点向量的差向量」是由「减向量」指向「被减向量」的有向线段。这也是向量减法的几何意义。

有时候有两点，想知道 $\overrightarrow{AB}$ ，可以利用减法运算 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$ 获得。

向量的数乘

规定「实数 $\lambda$ 与向量 $\boldsymbol a$ 的积」为一个向量，这种运算就是向量的 数乘运算，记作 $\lambda \boldsymbol a$ ，它的长度与方向规定如下：

$|\lambda \boldsymbol a|=|\lambda||\boldsymbol a|$ ；
当 $\lambda >0$ 时， $\lambda\boldsymbol a$ 与 $\boldsymbol a$ 同向，当 $\lambda =0$ 时， $\lambda \boldsymbol a=\boldsymbol 0$ ，当 $\lambda<0$ 时， $\lambda \boldsymbol a$ 与 $\boldsymbol a$ 方向相反。

根据数乘的定义，可以验证有如下运算律：

\begin{aligned} \lambda(\mu \boldsymbol a)&=(\lambda \mu)\boldsymbol a\\ (\lambda+\mu)\boldsymbol a&=\lambda \boldsymbol a+\mu \boldsymbol a\\ \lambda(\boldsymbol a+\boldsymbol b)&=\lambda \boldsymbol a+\lambda \boldsymbol b \end{aligned}

特别地：

\begin{gathered} (-\lambda)\boldsymbol a=-(\lambda \boldsymbol a)=-\lambda(\boldsymbol a)\\ \lambda(\boldsymbol a-\boldsymbol b)=\lambda \boldsymbol a-\lambda \boldsymbol b \end{gathered}

判定两向量共线

两个非零向量 $\boldsymbol a$ 与 $\boldsymbol b$ 共线 $\iff$ 有唯一实数 $\lambda$ ，使得 $\boldsymbol b=\lambda \boldsymbol a$ 。

证明：由数乘的定义可知，对于非零向量 $\boldsymbol a$ ，如果存在实数 $\lambda$ ，使得 $\boldsymbol b=\lambda \boldsymbol a$ ，那么 $\boldsymbol a \parallel \boldsymbol b$ 。

反过来，如果 $\boldsymbol a\parallel \boldsymbol b$ ， $\boldsymbol a \not = \boldsymbol 0$ ，且 $|\boldsymbol b|=\mu |\boldsymbol a|$ ，那么当 $\boldsymbol a$ 与 $\boldsymbol b$ 同向时， $\boldsymbol b=\mu \boldsymbol a$ ，反向时 $\boldsymbol b=-\mu \boldsymbol a$ 。

最后，向量的加，减，数乘统称为向量的线性运算。

平面向量的基本定理及坐标表示

平面向量基本定理

定理内容：如果两个向量 $\boldsymbol{e_1},\boldsymbol{e_2}$ 不共线，那么存在唯一实数对，使得与 $\boldsymbol{e_1},\boldsymbol{e_2}$ 共面的任意向量 $\boldsymbol p$ 满足 $\mathbf p=x\boldsymbol{e_1}+y\boldsymbol{e_2}$ 。

平面向量那么多，怎样用尽可能少的量表示出所有平面向量？

只用一个向量表示出所有向量显然是不可能的，最多只能表示出某条直线上的向量。

再加入一个向量，用两个 不共线 向量表示（两个共线向量在此可以看成同一个向量），这样可以把任意一个平面向量分解到这两个向量的方向上了。

在同一平面内的两个不共线的向量称为基底。如果基底相互垂直，那么在分解的时候就是对向量 正交分解。

平面向量的坐标表示

如果取与横轴与纵轴方向相同的单位向量作为一组基底，根据平面向量基本定理，平面上的所有向量与有序实数对一一对应。

而有序实数对与平面直角坐标系上的点一一对应，于是作 $\overrightarrow{OP}=\boldsymbol p$ ，那么终点也是唯一确定的。由于研究的对象是自由向量，可以自由平移起点，这样，在平面直角坐标系里，每一个向量都可以用有序实数对唯一表示。

平面向量的坐标运算

平面向量线性运算

由平面向量的线性运算可以推导其坐标运算，主要方法是将坐标全部化为用基底表示，然后利用运算律进行合并，之后表示出运算结果的坐标形式。

若两向量 $\boldsymbol a=(m,n)$ ， $\boldsymbol b=(p,q)$ ，则：

\begin{aligned} \boldsymbol a+\boldsymbol b&=(m+p,n+q)\\ \boldsymbol a-\boldsymbol b&=(m-p,n-q)\\ k\boldsymbol a&=(km,kn) \end{aligned}

求一个向量的坐标表示

已知两点，易证 $\overrightarrow{AB}=(c-a,d-b)$ 。

平移一点

有时需要将一个点沿一定方向平移某单位长度，这样把要平移的方向和距离组合成一个向量，利用向量加法的三角形法则，将 $\overrightarrow{OP}$ 加上这个向量，得到的向量终点即为平移后的点。

三点共线的判定

若三点共线，则 $\overrightarrow{OB}=\lambda \overrightarrow{OA}+(1-\lambda)\overrightarrow{OC}$ 。

三点共线判定的拓展

在三角形中，若为的等分点（ $n\ BD=k\ DC$ ），则有： $\overrightarrow{AD}=\frac{n}{k+n}\overrightarrow{AB}+\frac{k}{k+n}\overrightarrow{AC}$

在三维空间中的拓展（立体几何/空间向量）

在空间中，以上部分所述的所有内容均成立。更有：

空间向量基本定理

定理内容：如果两个向量 $\boldsymbol{e_1},\boldsymbol{e_2},\boldsymbol{e_3}$ 不共面，那么存在唯一实数对，使得空间中任意向量 $\boldsymbol p$ 满足 $\mathbf p=x\boldsymbol{e_1}+y\boldsymbol{e_2}+z\boldsymbol{e_3}$ 。根据空间向量基本定理，我们同样可以使用三个相互垂直的基底 $\boldsymbol{e_1},\boldsymbol{e_2},\boldsymbol{e_3}$ 作为正交基底，建立 空间直角坐标系 并用一个三元组作为坐标表示空间向量。

共面向量基本定理

如果存在两个不共线的向量 $\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}$ , 则向量 $\boldsymbol{p}$ 与 $\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}$ 共面的充要条件是存在唯一实数对使得 $\boldsymbol{p}=a\boldsymbol{x}+b\boldsymbol{y}$ 。

方向向量

空间直线的方向用一个与该直线平行的非零向量来表示，该向量称为这条直线的一个方向向量。直线在空间中的位置，由它经过的空间一点及它的一个方向向量 完全确定。

注意，平面中的直线也有方向向量。

对于空间中的直线，对其方向向量有以下求法：

若有，则所在直线的一个方向向量为 $\boldsymbol{s}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)$ 。
若已知一个与所求直线垂直的平面，该平面一般方程为，那么垂直于该平面的直线的一个方向向量为 $\boldsymbol{s}=(a,b,c)$ ，该方向向量也是该平面的 一个法向量。

法向量

对于一个面，其法向量 $\boldsymbol{n}$ 与这个面垂直。

计算方法：任取两个面内直线 $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}$ ，使得 $\overrightarrow{AB} \cdot \boldsymbol{n}=\boldsymbol{0}$ 且 $\overrightarrow{AD} \cdot \boldsymbol{n}=\boldsymbol{0}$ ，利用坐标法即可计算。

扩展

向量与矩阵

矩阵运算的相关法则与向量运算相似，于是考虑将向量写成矩阵形式，这样就将向量问题化为矩阵问题了。详细内容请参考线性代数。

向量旋转

设 $\boldsymbol a=(x,y)$ ，倾角为 $\theta$ ，长度为 $l=\sqrt{x^2+y^2}$ 。则 $x=l\cos \theta,y=l\sin\theta$ 。令其逆时针旋转 $\alpha$ 度角，得到向量 $\boldsymbol b=(l\cos(\theta+\alpha),l\sin(\theta+\alpha))$ 。

由三角恒等变换得，

\boldsymbol{b}=(l(\cos\theta\cos\alpha-\sin\theta\sin\alpha),l(\sin\theta\cos\alpha+\cos\theta\sin\alpha))

化简，

\boldsymbol b=(l\cos\theta\cos\alpha-l\sin\theta\sin\alpha,l\sin\theta\cos\alpha+l\cos\theta\sin\alpha)

把上面的代回来得

\boldsymbol b=(x\cos\alpha-y\sin\alpha,y\cos\alpha+x\sin\alpha)

即使不知道三角恒等变换，这个式子也很容易记下来。

向量的更严格定义

上文中，向量被定义为了空间中的有向线段。但是严格来说，向量不仅是有向线段。要作出向量的更严格定义，需要先定义线性空间，具体内容参见线性空间页面的介绍。

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