内积和外积

本文介绍向量之间的简单运算。

在本文之前,特别说明一下翻译的相关问题。由于历史原因,数学学科和物理学科关于“inner product”和“outer product”两个词汇有着五花八门的翻译。

在物理学科,一般翻译成“标积”和“矢积”,表示运算的结果为标量和矢量。高中数学课本上“数量积”和“向量积”也采用了这种意译的办法。

在数学学科,通常也可以翻译成“内积”和“外积”,是两个名词的直译。“点乘”和“叉乘”是根据运算符号得来的俗称,这种俗称也很常见。

在“点乘”运算中,经常省略运算的点符号,在线性代数中更是会直接看作矩阵乘法,不写点符号。

内积

内积的概念 对于任意维数的向量都适用

已知两个向量 ,它们的夹角为 ,那么:

就是这两个向量的 内积,也叫 点积数量积。其中称 方向上的投影。内积的几何意义即为:内积 等于 的模与 方向上的投影的乘积。

可以发现,这种运算得到的结果是一个标量,并不属于向量的线性运算。

在不引起混淆的情况下,内积的点号可以省略不写。如果在向量的右上角有上角标 ,表示向量与自身内积的简写,即 向量模长的平方,省略模长记号。该上角标 不可以理解为向量的平方,这是因为,向量内积的结果为标量,不存在除了 以外任何个数的向量的内积。同理,向量模长平方的平方,不可以简写为上角标 ,而是必须将上角标 的结果视为一个整体,以此类推。

内积满足交换律,即:

互相垂直的两个向量的内积,结果为 。向量与零向量内积,结果为

内积运算有以下应用:

判定两向量垂直

判定两向量共线

数量积的坐标运算

向量的模

两向量的夹角

二阶与三阶行列式

二阶与三阶行列式,可以作为行列式的较为简单的情形特殊定义。在微积分的最后一个部分场论部分,格林公式用到了二阶行列式,高斯公式用到了点乘,斯托克斯公式用到了三阶行列式。

二阶行列式可以视为四元函数,定义为:

三阶行列式可以视为九元函数,的定义为:

一种特殊的记忆方法是采用“对角线法则”,对角线法则只适用于二阶与三阶行列式。

特别注意:四阶行列式展开后共有 24 项,并且副对角线一项的符号为正。如果强行应用三阶行列式的“对角线法则”,不仅项数不够,副对角线一项的符号也不正确,因此三阶行列式的“对角线法则”不适用于更高阶的行列式,更高阶的行列式也不适合使用直接展开法计算。

外积

外积是 三维向量特有的运算

在物理学中,三维向量为默认与空间位置相关的向量,一律采用粗体表示。然而,物理学中与相对论相关的四维向量不会采用粗体,而是使用特殊的记号与下标。

在线性代数中,所有的向量都会用粗体表示,并且由于麻烦,并且线性代数中大多为向量与矩阵的运算,很难造成歧义,在手写时可以省略向量记号不写。

定义向量 的外积为一个向量,记为 ,其模与方向定义如下:

  1. 都垂直,且 符合右手法则。

注意到外积的模,联想到三角形面积计算公式 ,可以发现外积的几何意义是: 是以 为邻边的平行四边形的面积

两个向量 外积的结果是一个向量 。记作

向量的外积可以使用三阶行列式表示:

其中 表示和坐标轴 平行的单位向量,并写在对应坐标处。展开得

对于二维向量,无法计算外积,但是仍然可以计算两向量张成的平行四边形面积:

,将平面直角坐标系扩充为空间直角坐标系,原平面位于新坐标系的 xOy 平面,原本的坐标 变为 ,那么两个向量的外积为 ,因此平行四边形面积为 ,可以视为二阶行列式运算的结果。此时,根据右手法则和竖坐标符号,可以推断出 相对于 的方向,若在逆时针方向竖坐标为正值,反之为负值,简记为 顺负逆正

外积满足 反交换律,即:

共线的两个三维向量的外积,结果为 。三维向量与自身外积,结果为 。三维向量与零向量外积,结果为

根据上文的两个定义:

可以写出恒等式:

混合积

与外积一样,向量的混合积是 三维向量特有的运算

是空间中三个向量,则 称为三个向量 的混合积,记作 。混合积的绝对值 的几何意义表示以 为棱的平行六面体的体积。

向量的混合积可以使用三阶行列式表示:

向量的混合积可以用来计算四面体的体积:

混合积 的符号是正还是负,取决于 形成的夹角是锐角还是钝角,即指向 张成平面的同侧还是异侧,这相当于 三个向量依序构成右手系还是左手系。

有定理:三个三维向量 共面的充分必要条件是

混合积有性质:

二重外积

三维向量的混合积是内积与外积的混搭,具有轮换对称性。三维向量和三维向量的外积还是三维向量,那么外积的外积是否存在相关结论?

先证明一个引理。

证明:由右手定则, 都垂直,待证等式左端与 垂直,因此待证等式左端与 共面。

因此可以假设:

根据混合积的相关结论,上式两端同时对于 分别做内积,有:

由前文推出的恒等式:

可以解得:

证毕。

在上文的证明中提到, 与任意向量叉乘,得到的向量与 共面。接下来证明 二重外积 的结论:

上述共面性有助于二重外积结论的记忆。可见,上文的引理为二重外积的特殊情况。

证明:这里只需考虑三个向量均为非零且不共线的情况,其他特例为显然的。

三维向量 不共面,因此可以假设:

所以有:

根据上文的引理有:

因此有:

证毕。

根据外积的反交换性,可以得到二重外积的两个公式:

可见,二重外积对于运算顺序有着严格的要求。

借助混合积与二重外积,还可以证明拉格朗日的恒等式。

证明:

可见,前文的恒等式

是拉格朗日的恒等式的特殊情形。


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