线性映射

研究线性映射是研究线性空间之间的映射。

线性映射可以表示为矩阵的形式,所以在线性映射中矩阵中的大量概念都可以找到对应关系。

线性映射与线性变换

是域 上的两个线性空间, 的一个映射。

如果对于 中任意的向量 ,域 中任意的标量 ,有:

的一个线性映射。如果 ,则称 上的一个线性变换。

例如,恒等变换 保持空间不变,零变换 将空间映射至零空间。

可以记 为所有 的线性映射构成的集合。对于全体线性变换 ,也记为

性质

  • 线性映射将零向量映射到零向量。
  • 线性映射保持线性运算形式不变,即,线性运算的线性映射,等于线性映射的线性运算。
  • 线性映射保持线性相关性,即,映射前线性相关,映射后也线性相关。

但是线性映射不保持线性无关性。映射前线性无关,映射后不一定线性无关。

线性映射的矩阵表示

的维数是 的一组基为 的维数是 的一组基为 的一个线性映射。

将每个 经由 映射后的向量用 表示:

采用矩阵记法:

称矩阵 为线性映射 在这两组基下的矩阵表示。

线性映射的核空间与像空间

这里的核空间与像空间是站在线性映射的视角下叙述的。借助矩阵表示可以看出,线性映射的核空间与像空间与矩阵的核空间与像空间是一致的。

是由空间 到空间 的线性映射,令:

易验证 的子空间, 的子空间,称 的核空间和像空间,并称 的维数为 零度 的维数为

定理:设 是由空间 到空间 的线性映射, 的维数有限,则 均为有限维,且有:

的亏加秩等于其定义域 的维数。

线性变换的矩阵表示

的维数是 的一组基为 上的一个线性变换,则有:

采用矩阵记法:

称矩阵 为线性变换 在这组基下的矩阵表示。

由空间结构和 的线性性质, 完全确定,故由 唯一确定一个矩阵

定理:设 的维数是 的一组基,任取 阶方阵 ,有且仅有一个从 的线性变换 ,使得 的矩阵恰好为

推论:在 和全体 阶方阵之间存在一一对应关系。

例如:零变换对应零矩阵,恒等变换对应单位矩阵。

线性变换构成的空间

定理: 也可以构成线性空间,引入 中的运算:对于 中任意的 中任意的 ,域 中任意的 ,有:

容易验证 上的一个线性空间,即线性变换空间。

对于 中的线性变换 ,定义 的乘积 为:

可以验证 也是 中的线性变换,并且线性变换的乘积满足结合律,而不满足交换律,与矩阵的乘积类似。

对于 中的线性变换 ,如果 中的线性变换 ,使得对于 中任意的向量 ,有:

则称 的逆变换,记作:

且有:

定理:设 的维数为 的一组基,在这组基下线性变换 的矩阵为 的矩阵为 ,则:

  • 线性变换 的矩阵为
  • 线性变换的数乘 的矩阵为
  • 线性变换的乘积 的矩阵为
  • 线性变换 的逆变换若存在,矩阵为

坐标

个向量 维空间 的一个基,对于 中任意的向量 ,令 为:

称列向量:

为向量 在基 下的 坐标

可见,坐标是由域中的标量构成的列向量,与阿贝尔群中的向量应当进行区分。

坐标变换公式

的维数为 中有变换 在基 下的矩阵为 。设:

且有:

则有:

空间 中的列向量点本质上都是“基乘坐标”的形式。空间 中的列向量点 ,本身用了单位阵 作为基,即

只有同一个基,基不动的时候,单纯的线性变换 ,就是坐标左乘普通矩阵。

把线性变换 看成对于空间 的一个观测滤镜。线性变换 的作用对象是空间 ,将空间 扭曲了。加了滤镜之后,点本身的位置没有变。

这个定理也说明,对于列向量基的线性变换 ,等价于对于基右乘一个过渡矩阵。

于是,在不同的基之间,坐标关系是左乘过渡矩阵的逆矩阵。

过渡矩阵

个向量 个向量 是空间 的两组基。对于 ,令每个向量 在基 下的坐标为:

于是 个向量 排成等式左边的矩阵, 个坐标排成等式右边的矩阵

矩阵 称为由基 到基 过渡矩阵,也称为变换矩阵。

显然过渡矩阵可逆。对于上式,由基 到基 的过渡矩阵为

可见,过渡矩阵是由域中的标量构成的矩阵,并非阿贝尔群中的向量排成的矩阵,应当予以区分。

个向量 个向量 是空间 的两组基。对于空间 中的同一个向量 ,有:

代入上文的

由唯一性,得到:

或者

这是纯粹坐标之间的变换,坐标变换公式均在标量域中。由于前文做了区分,线性空间与阿贝尔群中的向量是“抽象的向量”,而坐标与过渡矩阵的元素均在标量域中,视为“具体的向量”,两种向量应当视为“不同的东西”。

矩阵可以对整个空间,即全体坐标进行变换,列向量 作为坐标遍布整个空间。

单位矩阵 由单位向量构成。矩阵 会将单位矩阵 变换到矩阵 的每个列向量,即将单位向量变换到矩阵 的每个列向量。因此左乘矩阵 ,也可以视为将空间做了这样的变换。

向量左乘矩阵,也可以视为坐标左乘向量组。用坐标的观点看待就是:

同一个列向量 ,在“正常”的空间,单位矩阵 代表的空间下,坐标为 ,在变换后新的空间里,坐标将记为 。这样一来,矩阵 不仅是正常空间下的一组基,也是从向量组 到向量组 的过渡矩阵。

线性变换 会将一个基映射为另一个基,于是坐标也被映射为另一个坐标。

如果将基 映射到 对应的线性变换 的过渡矩阵是 ,那么对应的基矩阵就有

于是坐标的关系恰好反过来。假设线性变换 映射后的坐标是 ,即加滤镜后观察到坐标 ,于是点在 的表示就是 。还原的办法就是用过渡矩阵,把点在 的表示写成 。于是坐标变换为左乘过渡矩阵的逆矩阵的看法就明显了。

线性变换与矩阵相似

在空间 中的一个线性变换 对于空间 的基 的关系:

线性变换 作用于基 ,将基 映射到了 ,相当于在基 右乘一个 ,即

矩阵相似考虑的问题是:同一个线性变换 ,在基 的空间 中描述为矩阵 ,在基 的空间 中描述为矩阵

如果过渡矩阵为 ,即 ,那么两个描述 之间有怎样的联系。

由于是同一个变换 ,可以发现一个事实,变换前后的过渡矩阵关系始终成立,即:

线性变换 在基 视角下仍旧为右乘,基 转化到基 再右乘一个 ,变换前后保持过渡矩阵 的关系:

于是问题得到解决:

定理:设 中有变换 ,则 在不同基下的矩阵 相似

对于方阵 和方阵 ,如果存在可逆矩阵 使得 ,则 相似。

矩阵相似保持秩不变,因此矩阵相似可以推出矩阵等价。但是,等价的两个矩阵未必相似。

由于矩阵相似与形状密切相关,因此矩阵相似和向量组等价、方程组同解之间没有关系。

回过头来,矩阵相似的解释就是 4 个等式:

参考资料