Jordan标准型
Jordan 分解
设
是
维空间
上的一个线性变换。如果
的最小多项式为:

那么由准素分解可知,空间
可以分解为子空间的直和:

其中
,式中
为
对应的矩阵,这些子空间都在
作用下不变。
令变换
为
在子空间
上的射影,即构造多项式
使得:
式中
表示空间
的恒等变换。于是有性质:
- 变换
在空间
上的限制
为空间
的恒等变换。 - 如果
与
不相等,变换
在空间
上的限制
为空间
的零变换。
于是变换
将空间
的每一个向量
映射为它在空间
中的分量
。
构造变换:

由于每一个变换
都是变换
的一个多项式,所以变换
也是变换
的一个多项式,于是每一个子空间
在变换
下不变。
由上述等式可知,变换
在子空间
上的限制
是子空间
的一个位似,位似系数为
。因此,变换
可以对角化。
构造:

于是变换
也是变换
的一个多项式,所以每一个子空间
在变换
下不变。对于子空间
中的任意向量
,有:

令
为全体
的最大值,那么对于空间
中的任意向量
,变换
的
次方将向量
映射至零向量。因此变换
是一个幂零变换。
这样,空间
的每一个变换
都可以写成:

其中
可以对角化,而
是一个幂零变换。因为
和
都是变换
的多项式,所以它们的乘积可交换:

定理:设
和
是空间
的两个可对角化变换,且
,那么存在一个基,使得
和
关于这同一个基的矩阵是对角形式。
定理:设
是
维空间
上的一个线性变换,那么存在一个可对角化变换
和一个幂零变换
,使得:
它们都是变换
的多项式,并且它们由变换
唯一确定。
该定理给出关于变换
的分解,称为
的若尔当(Jordan)分解,
叫做
的可对角化部分,
叫做
的幂零部分。
同样地,有矩阵的 Jordan 分解:
定理:设
是一个
阶矩阵,那么存在一个可对角化矩阵
和一个幂零矩阵
,使得:
它们都是矩阵
的多项式,并且它们由矩阵
唯一确定。
该定理给出关于矩阵
的分解,称为
的若尔当(Jordan)分解,
叫做
的可对角化部分,
叫做
的幂零部分。
lambda 矩阵
接下来引入的部分是含有变元参量
的更广义的矩阵,不仅仅是一个数表。这部分讨论相较单纯由数构成的矩阵而言,更加广泛一些。
对于
矩阵,对应空间相应的域,变为含有一个变元
的有理式域。
以
的多项式为元素的矩阵称为
矩阵,记为
。
由于多项式域包含数域,数字矩阵是特殊的
矩阵,数字矩阵
的特征矩阵
是一种
矩阵。
lambda 矩阵的初等变换
对于
矩阵,同样可以定义加减法、乘法、初等变换、秩。对于
方阵,同样可以定义行列式、余子式、代数余子式。
对于
矩阵,初等变换与数阵大多相同,仅将倍加变换改为(这里以行变换为例):
- 用
的多项式
乘某行并加到另一行上。
注意倍乘变换不进行修改。这是因为倍加变换不改变行列式,而倍乘变换改变行列式。为了保持多项式域的秩的性质,行列式只能在数域上进行改变。
相应的初等矩阵也一并进行修改。
易见三种初等阵的行列式均为非零常数,因此均为满秩。所以它们左乘或右乘,不改变
矩阵的秩。
若
经过有限次初等变换变为
,则称
和
等价。
对于
矩阵,如果等价,则秩相同。反之则不然,这与数字矩阵有区别。
Smith 标准型
定理:设
矩阵的秩是
,则
一定等价于:

其中:

每一个
是一个首
多项式,并且相邻两个多项式有整除关系
。
称此标准型为 Smith 标准型,称
为不变因子。
具体求解 Smith 标准型的办法是,从左上角到右下角进行消元,每次左上角的元素是右下方剩余的全体多项式的最大公因式,并借助左上角的元素将该行该列全部消为
。
定理:条件
和
等价,等价于条件
和
拥有完全一样的不变因子。
初等因子
由代数基本定理,设
的不变因子
的分解为:

其中
互不相同。由于:

因此指数
递增,并且最后一项
的各项指数均非零。
上式中指数大于零的全部因子,统称为
的初等因子。
注意,初等因子计重数。如果对于某个
,指数
出现了若干次,则对应的初等因子
也应当出现相应次数。
之前的定理说明,
与
等价,等价于他们两个拥有完全一致的不变因子。不变因子完全相同,自然初等因子也完全相同,但是反之则不然。事实上有结论:
定理:
与
不变因子完全相同,等价于初等因子和秩均完全相同。
于是「初等因子和秩均完全相同」也成为判断
矩阵等价性的条件。
在初等变换的时候,也可以先将
变换为对角阵,再求出初等因子和秩,再求出不变因子得到标准型。有结论:
定理:设
等价于对角阵:

那么有
的全体一次因子的幂
,构成
的初等因子。
由初等因子和秩构造不变因子的具体方法为:先将初等因子按照因式分类,排成表格,把同类因式进行降幂排列放到同一行,各类因式的最高次幂放到一列,把列数用
补齐至秩
,那么每一列的乘积构成一个不变因子。
在特征矩阵中的应用
如果
与
是数阵,那么它们的特征矩阵是
矩阵。有结论:
定理:条件数阵
与
相似,等价于条件特征矩阵
和
等价。
由于特征矩阵
只在主对角线含有
个
,所以秩为
。由上述推理,同型的数阵的特征矩阵的秩始终相等,于是有等价性:
数阵
与
相似,等价于特征矩阵
和
有完全相同的初等因子。
对于特征矩阵
,初等变换保持等价性,所以不改变秩。
观察三种初等变换,由于唯一被改写的倍加变换不改变行列式,事实上三种初等变换仅对行列式的结果多项式改变常数倍,因此不改变行列式的结果多项式的因式分解与次数。
因此特征矩阵
的行列式为
次多项式,初等变换化为 Smith 标准型后,由于秩为
,行列式就是主对角线全体不变因子的乘积,也等于全体初等因子的乘积。因此,特征矩阵
的全体初等因子的次数之和等于
。
Jordan 标准型
矩阵

主对角线上的元素都是
,紧邻主对角线上方的元素都是
,其余位置都是
,叫做属于
的一个 Jordan 矩阵,或称 Jordan 块。
显然,幂零 Jordan 矩阵是 Jordan 矩阵的特例,即
为
的情形。
定理:设
是
维空间
的一个变换,
是
的一切互不相同的特征值,那么存在一个基,使得
关于这个基的矩阵有形状:

其中

其中
都是属于
的 Jordan 块。
这是因为,首先根据最小多项式:

有准素分解:

其中:

式中
为
对应的矩阵。
令变换
为
在
上的限制
,接下来试图对每一个
进行 Jordan 分解。
记
为
上的恒等变换。与前文的 Jordan 分解不同,记
为
的 Jordan 分解中的幂零部分:

于是
为子空间
的一个幂零变换,事实上也是
在
上的限制
。
子空间
可以分解为幂零变换
循环子空间的直和:

在每一个循环子空间
里,取一个循环基并倒序排列,凑成
的一个基,于是
关于这个基的矩阵有形状:

全体
均为幂零 Jordan 块。于是对于
上述选取的基,
对应的矩阵是:

这里
都是属于
的 Jordan 块。
对于每一个子空间
,按照以上方式选取一个基,凑起来成为
的基,那么
关于这个基的矩阵即构成定理规定的形式。
形如:

的
阶矩阵,其中每一个
都是一个 Jordan 块,叫做一个 Jordan 标准型。
定理:每一个
阶矩阵
都与一个 Jordan 标准型相似。除了各个 Jordan 块排列的次序以外,与
相似的 Jordan 标准型是由
唯一确定的。
注意在上述构造的矩阵
中,第一项是一个单位阵的若干倍,自然可以和第二项交换。因此,第一项就是
的 Jordan 分解的可对角化部分,第二项就是
的 Jordan 分解的幂零部分。
在一个矩阵对应的 Jordan 标准型里面,主对角线上的元素构成的对角阵是这个矩阵对应的 Jordan 标准型的可对角化部分,把主对角线上的元素换成
就得到这个矩阵对应的 Jordan 标准型的幂零部分。
定理:对于矩阵
的 Jordan 标准型中,每一个 Jordan 块:

对应于特征矩阵
的一个初等因子
,特征矩阵
的全体初等因子对应于矩阵
的 Jordan 标准型中的全体 Jordan 块。
这是因为,矩阵
相似于它的 Jordan 标准型,因此两者的特征矩阵也等价,将 Jordan 标准型的特征矩阵化为 Smith 标准型即可看出。
由这个定理,借助特征矩阵
的初等因子,可以写出矩阵
的 Jordan 标准型。
一个推论是,矩阵
可对角化,等价于特征矩阵
的初等因子均为一次的。
弗罗贝尼乌斯(Forbenious)定理
上文指出,
阶特征矩阵的 Smith 标准形的秩为
。
定理:设矩阵
的特征矩阵
的 Smith 标准形为:

则最后一个不变因子
恰好为矩阵
的最小多项式
。
推论:矩阵
可对角化的等价条件为:
- 最小多项式
无重根。 - 特征矩阵
的不变因子无重根。 - 特征矩阵
的初等因子均为一次的。
本页面最近更新:2023/7/30 10:47:50,更新历史
发现错误?想一起完善? 在 GitHub 上编辑此页!
本页面贡献者:CCXXXI, Great-designer, Tiphereth-A
本页面的全部内容在 CC BY-SA 4.0 和 SATA 协议之条款下提供,附加条款亦可能应用