对角化

特征子空间

矩阵 $A$ 的属于 ${\lambda }_0$ 的全部特征向量，再添上零向量，构成一个线性空间，称为矩阵 $A$ 的一个特征子空间，记为 $E({\lambda }_0)$。它是齐次线性方程组：

$$({\lambda }_{0}I-A)X=0$$

的解空间。

对于特征子空间 $E({\lambda }_i)=N({\lambda }_{i}I-A)$，由亏加秩定理有：

$$r({\lambda }_{i}I-A)+\dim N({\lambda }_{i}I-A)=n$$

因此，特征子空间 $E({\lambda }_i)$ 的维数为：

$$\dim E({\lambda }_i)=n-r({\lambda }_{i}I-A)$$

也称为 ${\lambda }_i$ 的 几何重数。

不变子空间

在研究线性变换 $T$ 的时候，常常希望选取空间 $V$ 的一个基，使得线性变换 $T$ 对于这个基的矩阵具有尽可能简单的形状。

设 $V$ 是数域 $F$ 上的线性空间，$W$ 是 $V$ 的一个子空间，$T$ 是 $V$ 上的一个线性变换。如果对于 $W$ 中任意的向量 $x$，都有 $T(x)$ 也在 $W$ 中（也称为空间在变换下不变或稳定），称 $W$ 是 $T$ 的一个不变子空间。

空间在变换下不变，并不是说坐标在变换下真的「不变」，有可能是进行了一个拉伸等变形，只是变形后还落在空间里。

• 线性空间 $V$ 的任意一个子空间都是数乘变换的不变子空间。
• 对于 $V$ 中任意的线性变换 $T$，空间 $V$ 和零子空间都是 $T$ 的不变子空间，称为平凡不变子空间。
• 不变子空间的交与和也是不变子空间。

设 $W$ 是线性变换 $T$ 的一个不变子空间。只考虑 $T$ 在不变子空间 $W$ 上的作用，就得到子空间 $W$ 本身的线性变换，称为 $T$ 在子空间 $W$ 上的限制，记作 ${T|}_W$。

对于 $V$ 中任意的线性变换 $T$，像空间 $R(T)$ 与核空间 $N(T)$ 是 $T$ 的不变子空间。这两种情况的含义是，空间 $V$ 在变换前后，完成了自身的压缩（像空间），或者压缩到 $0$（核空间）。

对于 $V$ 中任意的线性变换 $T$，$T$ 的特征子空间是 $T$ 的不变子空间。

准素分解

根据代数基本定理，最小多项式可以分解为：

$$m_A(\lambda )={(\lambda -{\lambda }_1)}^{r_1}\cdots {(\lambda -{\lambda }_S)}^{r_S}$$

考虑最小多项式代入变元 $\lambda$ 为矩阵 $A$ 后，各个因式的核空间，构成矩阵 $A$ 的一系列不变子空间：

$$W_i=N({({\lambda }_{i}I-A)}^{r_i})$$

定理：该不变子空间 $W_i$ 的维数，恰好为特征值 ${\lambda }_i$ 的代数重数。

回顾一下，代数重数是指特征多项式各个因式的次数，几何重数是指特征子空间 $E({\lambda }_i)=N({\lambda }_{i}I-A)$ 的维数。这个不变子空间 $W_i$ 与特征子空间 $E({\lambda }_i)$，两者都是矩阵的核空间，并且两个矩阵构成最小多项式 $r_i$ 次幂的关系。也就是说，特征子空间的维数是几何重数，「特征子空间」经过最小多项式 $r_i$ 次幂后到达一个「不变子空间」，不变子空间的维数到达了特征多项式的代数重数。

该定理其实是下面准素分解定理的推论。

记矩阵 $A$ 对应的线性变换 $T$，在每个子空间 $W_i$ 上的限制 $T_i={T|}_{W_i}$。于是 $T_i$ 的最小多项式是 $(x-{\lambda }_i{)}^{r_i}$。

定理：设 $V$ 是域 $F$ 上的线性空间，$T$ 是 $V$ 上的一个线性变换。那么空间 $V$ 可以关于线性变换 $T$ 进行准素分解，拆成若干不变子空间 $W_i$ 的直和。

$$V=W_1\oplus W_2\oplus \cdots \oplus W_S$$

这意味着，$T$ 在某组基下的矩阵是准对角阵：

$$\mathrm{diag}\{A_1,A_2,\cdots ,A_S\}$$

其中，$A_i$ 是 $T_i$ 在对应基下的矩阵。

该定理表明，可以使用不变子空间简化线性变换的矩阵。

可对角化矩阵

对于 $n$ 阶方阵 $A$，如果相似于一个对角阵，则称 $A$ 为可对角化矩阵，或称单纯矩阵。

• 对角阵的和、积、逆，如果存在，仍然是对角阵，其对角线上的元素就是它的特征值。
• 线性变换 $T$ 的矩阵为可对角化矩阵，等价于 $T$ 在某组基下的矩阵为对角阵。

定理：设矩阵 $A$ 的全部互异特征根为 ${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_m$，则以下命题等价：

• 矩阵 $A$ 可对角化。
• 矩阵 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。
• 以下公式成立：

$$\dim E({\lambda }_1)+\cdots +\dim E({\lambda }_m)=n$$

前文已经指出，特征多项式的分解式中特征值的次数称为代数重数，特征子空间的维数称为几何重数。这个定理也表明，矩阵 $A$ 可对角化，等价于 $A$ 的每个特征值 $\lambda$ 的代数重数都等于它的几何重数。

推论：如果 $n$ 阶方阵 $A$ 恰有 $n$ 个互异特征值，则它必可对角化。反之则不一定。

定理：矩阵 $A$ 可对角化当且仅当 $A$ 的最小多项式没有重根。

矩阵的相似也会保持特征向量之间的线性相关关系不变。

特征向量完全可能不是实数，也完全可能找不到 $n$ 个线性无关的特征向量。

对于重特征值而言，特征向量张成空间。为了描述这个空间，需要从其中选择代表。一般会选择线性无关的代表，代表的个数就是空间的维数。

选取代表时，常常将它们正交化与单位化。最终得到的就是一套单位正交的代表。

特征向量不一定正交，不同特征值的特征向量，可能无法正交。因此正交化只能对于重特征值的特征向量进行。但是单位化可以对任意特征向量进行。

幂零矩阵

设 $T$ 是空间 $V$ 的一个线性变换。如果存在一个正整数 $r$，使得 $T^r$ 为零变换，称 $T$ 是空间 $V$ 的一个幂零变换。

对于某一个正整数 $r$，满足条件 $N^r=0$ 的矩阵称为幂零矩阵。

一般可以进一步假定 $r$ 是使 $T^r$ 为零变换的最小正整数，于是 $T$ 的最小多项式是 $x^r$。于是存在一个向量 ${\xi }_0$，使得：

• $$T^r({\xi }_0)=0$$
• $$T^{r-1}({\xi }_0)\ne 0$$

循环子空间

定理：设 $T$ 是空间 $V$ 的一个线性变换，$\xi$ 是空间 $V$ 的一个向量。如果存在一个正整数 $s$，使得：

• $$T^s(\xi )=0$$
• $$T^{s-1}(\xi )\ne 0$$

那么向量 $\xi ,T(\xi ),\cdots ,T^{s-1}(\xi )$ 线性无关。

由这个定理可以给出一个定义：

设 $T$ 是空间 $V$ 的一个线性变换，$W$ 是 $V$ 的一个子空间。如果存在一个向量 ${\xi }_0$ 和一个正整数 $r$，使得：

• 向量 ${\xi }_0,T({\xi }_0),\cdots ,T^{r-1}({\xi }_0)$ 构成 $W$ 的一个基。

• 如下等式成立：

  $$T^r({\xi }_0)=0$$

那么子空间 $W$ 称为关于 $T$ 的一个循环子空间，简称 $T$ 循环子空间。此时 ${\xi }_0$ 称为循环子空间 $W$ 的一个生成向量，向量 ${\xi }_0,T({\xi }_0),\cdots ,T^{r-1}({\xi }_0)$ 称为 $W$ 的一个循环基。

显然，一个 $T$ 循环子空间 $W$ 在 $T$ 作用下不变，并且对于循环子空间 $W$ 中的任意向量 $\xi$，均有 $T^r(\xi )=0$，这里 $r$ 为循环子空间的维数。

幂零 Jordan 块

如果空间 $W$ 是变换 $T$ 的循环子空间，那么 $T$ 在 $W$ 上的限制 ${T|}_W$ 是 $W$ 的一个幂零变换，并且 ${T|}_W$ 关于 $W$ 的倒序排列的循环基 $T^{r-1}({\xi }_0),T^{r-2}({\xi }_0),\cdots ,{\xi }_0$ 的矩阵是如下形状的 $r$ 阶上三角矩阵：

$$N_r=\left(\begin{array}{cccccc}0& 1& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& 0& 1& \cdots & 0& 0\\ 0& 0& 0& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 0& 1\\ 0& 0& 0& \cdots & 0& 0\end{array}\right)$$

矩阵 $N_r$ 称为一个 $r$ 阶幂零 Jordan 矩阵，或者 $r$ 阶幂零 Jordan 块。

设 $T$ 是 $n$ 维空间 $V$ 的一个幂零变换，把出现在 $V$ 关于 $T$ 的循环子空间的分解中，唯一确定的一组正整数 $r_1\ge \cdots \ge r_S$ 叫做 $T$ 的不变指数。

对于 $n$ 阶幂零矩阵 $A$，$A$ 与一个上述形状的矩阵 $N$ 相似，也唯一确定一个正整数序列 $r_1\ge \cdots \ge r_S$，称为矩阵 $A$ 的不变指数。

幂零阵虽然不能和对角阵相似，但是可以相似于这样的标准形式。在 Jordan 标准型，将相似对角化与幂零阵的标准形式，二者结合起来，给出一般的矩阵通过相似变换可以达到的标准形式。

一些定理

1. 设 $T$ 是空间 $V$ 的一个幂零变换，而

   $$h(x)=a_0+a_{1}x+\cdots +a_m{x}^m$$

   是一个多项式，那么当且仅当 $a_0\ne 0$ 时，线性变换 $h(T)$ 有逆变换。当 $h(T)$ 可逆时，$h(T)$ 的逆变换也是 $T$ 的一个多项式。

2. 设 $T$ 是空间 $V$ 的一个幂零变换，$W$ 是一个 $r$ 维 $T$ 循环子空间，$\xi$ 是 $W$ 中的向量。如果存在一个整数 $k$，使得

   $$T^{r-k}(\xi )=0$$

   那么存在 $W$ 中的向量 $\eta$，使得

   $$\xi =T^k(\eta )$$

3. 设 $T$ 是 $n$ 维空间 $V$ 的一个幂零变换，$x^r$ 是 $T$ 的最小多项式，令 $W_1$ 是一个 $r$ 维 $T$ 循环子空间，那么存在 $W_1$ 的一个余子空间 $W_2$，使得：

   $$V=W_1\oplus W_2$$

   并且 $W_2$ 也在 $T$ 作用下不变。

4. 设 $T$ 是 $n$ 维空间 $V$ 的一个幂零变换，那么 $V$ 可以分解为 $T$ 循环子空间的直和：

   $$V=W_1\oplus W_2\oplus \cdots \oplus W_S$$

5. 每一个 $n$ 阶幂零矩阵都与一个形如：

   $$N=\left(\begin{array}{cccc}{N}_{r_1}& & & 0\\ & N_{r_2}& & \\ & & \cdots & \\ 0& & & N_{r_S}\end{array}\right)$$

   的矩阵相似，这里的每一个 $N_{r_i}$ 是一个 $r_i$ 阶幂零 Jordan 块。

6. 如果规定 $T$ 循环子空间 $W_i$ 按照维数 $r_i$ 降序排列 $r_1\ge \cdots \ge r_S$，那么将 $V$ 分解为 $T$ 循环子空间的方法是由 $T$ 唯一确定的。

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