数值积分

定积分的定义

简单来说,函数 f(x) 在区间 [l,r] 上的定积分 \int_{l}^{r}f(x)\mathrm{d}x 指的是 f(x) 在区间 [l,r] 中与 x 轴围成的区域的面积(其中 x 轴上方的部分为正值, x 轴下方的部分为负值)。

很多情况下,我们需要高效,准确地求出一个积分的近似值。下面介绍的 自适应辛普森法 ,就是这样一种求数值积分的方法。

自适应辛普森法

这个方法的思想是将被积区间分为若干小段,每段套用二次函数的积分公式进行计算。

二次函数积分公式(辛普森公式)

对于一个二次函数 f(x)=Ax^2+Bx+C ,有:

\int_l^r f(x) {\mathrm d}x = \frac{(r-l)(f(l)+f(r)+4 f(\frac{l+r}{2}))}{6}

推导过程: 对于一个二次函数 f(x)=Ax^2+Bx+C ; 求积分可得 F(x)=\int_0^x f(x) {\mathrm d}x = \frac{a}{3}x^3+\frac{b}{2}x^2+cx+D 在这里 D 是一个常数,那么

\begin{aligned} \int_l^r f(x) {\mathrm d}x &= F(r)-F(l) \\ &= \frac{a}{3}(r^3-l^3)+\frac{b}{2}(r^2-l^2)+c(r-l) \\ &=(r-l)(\frac{a}{3}(l^2+r^2+lr)+\frac{b}{2}(l+r)+c) \\ &=\frac{r-l}{6}(2al^2+2ar^2+2alr+3bl+3br+6c)\\ &=\frac{r-l}{6}((al^2+bl+c)+(ar^2+br+c)+4(a(\frac{l+r}{2})^2+b(\frac{l+r}{2})+c)) \\ &=\frac{r-l}{6}(f(l)+f(r)+4f(\frac{l+r}{2})) \end{aligned}

现在唯一的问题就是如何进行分段。如果段数少了计算误差就大,段数多了时间效率又会低。我们需要找到一个准确度和效率的平衡点。

我们这样考虑:假如有一段图像已经很接近二次函数的话,直接带入公式求积分,得到的值精度就很高了,不需要再继续分割这一段了。

于是我们有了这样一种分割方法:每次判断当前段和二次函数的相似程度,如果足够相似的话就直接代入公式计算,否则将当前段分割成左右两段递归求解。

现在就剩下一个问题了:如果判断每一段和二次函数是否相似?

我们把当前段直接代入公式求积分,再将当前段从中点分割成两段,把这两段再直接代入公式求积分。如果当前段的积分和分割成两段后的积分之和相差很小的话,就可以认为当前段和二次函数很相似了,不用再递归分割了。

上面就是自适应辛普森法的思想。

参考代码如下:

double simpson(double l, double r) {
  double mid = (l + r) / 2;
  return (r - l) * (f(l) + 4 * f(mid) + f(r)) / 6;  // 辛普森公式
}
double asr(double l, double r, double eqs, double ans) {
  double mid = (l + r) / 2;
  double fl = simpson(l, mid), fr = simpson(mid, r);
  if (abs(fl + fr - ans) <= 15 * eqs)
    return fl + fr + (fl + fr - ans) / 15;  // 足够相似的话就直接返回
  return asr(l, mid, eqs / 2, fl) +
         asr(mid, r, eqs / 2, fr);  // 否则分割成两段递归求解
}

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