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欧拉定理 & 费马小定理

费马小定理

p 为素数, \gcd(a, p) = 1 ,则 a^{p - 1} \equiv 1 \pmod{p}

另一个形式:对于任意整数 a ,有 a^p \equiv a \pmod{p}

欧拉定理

\gcd(a, m) = 1 ,则 a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod{m}

证明

r_1, r_2, \cdots, r_{\varphi(m)} 为模 m 意义下的一个简化剩余系,则 ar_1, ar_2, \cdots, ar_{\varphi(m)} 也为模 m 意义下的一个简化剩余系。所以 r_1r_2 \cdots r_{\varphi(m)} \equiv ar_1 \cdot ar_2 \cdots ar_{\varphi(m)} \equiv a^{\varphi(m)}r_1r_2 \cdots r_{\varphi(m)} \pmod{m} ,可约去 r_1r_2 \cdots r_{\varphi(m)} ,即得 a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod{m}

m 为素数时,由于 \varphi(m) = m - 1 ,代入欧拉定理可立即得到费马小定理。

扩展欧拉定理

a^b\equiv \begin{cases} a^{b\bmod\varphi(p)},\,&\gcd(a,\,p)=1\\ a^b,&\gcd(a,\,p)\ne1,\,b<\varphi(p)\\ a^{b\bmod\varphi(p)+\varphi(p)},&\gcd(a,\,p)\ne1,\,b\ge\varphi(p) \end{cases} \pmod p

证明

证明转载自synapse7

  1. a 0 次, 1 次,。。。, b 次幂模 m 的序列中,前 r 个数( a^0 a^{r-1} ) 互不相同,从第 r 个数开始,每 s 个数就循环一次。

    证明:由鸽巢定理易证。

    我们把 r 称为 a 幂次模 m 的循环起始点, s 称为循环长度。(注意: r 可以为 0

    用公式表述为: a^r\equiv a^{r+s}\pmod{m}

  2. a 为素数的情况

    m=p^rm' ,则 \gcd(p,m')=1 ,所以 p^{\varphi(m')}\equiv 1\pmod{m'}

    又由于 \gcd(p^r,m')=1 ,所以 \varphi(m') \mid \varphi(m) ,所以 p^{\varphi(m)}\equiv 1 \pmod {m'} ,即 p^\varphi(m)=km'+1 ,两边同时乘以 p^r ,得 p^{r+\varphi(m)}=km+p^r (因为 m=p^rm'

    所以 p^r\equiv p^{r+s}\pmod m ,这里 s=\varphi(m)

  3. 推论: p^b\equiv p^{r+(b-r) \mod \varphi(m)}\pmod m

  4. 又由于 m=p^rm' ,所以 \varphi(m) \ge \varphi(p^r)=p^{r-1}(p-1) \ge r

    所以 p^r\equiv p^{r+\varphi(m)}\equiv p^{r \mod \varphi(m)+\varphi(m)}\pmod m

    所以 p^b\equiv p^{r+(b-r) \mod \varphi(m)}\equiv p^{r \mod \varphi(m)+\varphi(m)+(b-r) \mod \varphi(m)}\equiv p^{\varphi(m)+b \mod \varphi(m)}\pmod m

    p^b\equiv p^{b \mod \varphi(m)+\varphi(m)}\pmod m

  5. a 为素数的幂的情况

    是否依然有 a^{r'}\equiv a^{r'+s'}\pmod m ?(其中 s'=\varphi(m),a=p^k )

    答案是肯定的,由 2 知 p^s\equiv 1 \pmod m' ,所以 p^{s \times \frac{k}{\gcd(s,k)}} \equiv 1\pmod {m'} ,所以当 s'=\frac{s}{\gcd(s,k)} 时才能有 p^{s'k}\equiv 1\pmod {m'} ,此时 s' \mid s \mid \varphi(m) ,且 r'= \lceil \frac{r}{k}\rceil \le r \le \varphi(m) ,由 r',s' \varphi(m) 的关系,依然可以得到 a^b\equiv a^{b \mod \varphi(m)+\varphi(m)}\pmod m

  6. a 为合数的情况

    只证 a 拆成两个素数的幂的情况,大于两个的用数学归纳法可证。

    a=a_1a_2,a_i=p_i^{k_i} a_i 的循环长度为 s_i

    s \mid lcm(s_1,s_2) ,由于 s_1 \mid \varphi(m),s_2 \mid \varphi(m) ,那么 lcm(s_1,s_2) \mid \varphi(m) ,所以 s \mid \varphi(m) r=\max(\lceil \frac{r_i}{k_i} \rceil) \le \max(r_i) \le \varphi(m)

    r,s \varphi(m) 的关系,依然可以得到 a^b\equiv a^{b \mod \varphi(m)+\varphi(m)}\pmod m

    证毕。

习题

  1. SPOJ #4141 "Euler Totient Function"[Difficulty: CakeWalk]
  2. UVA #10179 "Irreducible Basic Fractions"[Difficulty: Easy]
  3. UVA #10299 "Relatives"[Difficulty: Easy]
  4. UVA #11327 "Enumerating Rational Numbers"[Difficulty: Medium]
  5. TIMUS #1673 "Admission to Exam"[Difficulty: High]

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