Eulerian Number

注意

下文中的欧拉数特指 Eulerian Number。注意与 Euler numbers,Euler's number 作区分。

在计算组合中,欧拉数(Eulerian Number)是从 1n 中正好满足 m 个元素大于前一个元素(具有 m 个“上升”的排列)条件的排列 个数。定义为:

A(n, m) = \langle \begin{aligned} & n \\ & m - 1 \\ \end{aligned} \rangle

例如,从数字 13 一共有 4 种排列使得恰好有一个元素比前面的数字大:

排列 满足要求的排列 个数
1 2 3 1, 2 & 2, 3 2
1 3 2 1, 3 1
2 1 3 1, 3 1
2 3 1 2, 3 1
3 1 2 1, 2 1
3 2 1 0

所以按照 A(n, m) 定义:如果 n 等于 3,m 等于 1,欧拉数值为 4,表示共有 4 个有 1 个元素大于前一个元素的排列。

对于 nm 值比较小的欧拉数来说,我们可以直接得到结果:

A(n, m) 满足要求的排列 个数
A(1, 0) (1) 1
A(2, 0) (2, 1) 1
A(2, 1) (1, 2) 1
A(3, 0) (3, 2, 1) 1
A(3, 1) (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2) 4
A(3, 2) (1, 2, 3) 1

公式

可以通过递推或者递归的方法计算欧拉数。

首先,当 m \ge nn = 0 时,没有满足条件的排列,即此时欧拉数为 0。

其次,当 m = 0 时,只有降序的排列满足条件,即此时欧拉数为 1。

最后,考虑在 n-1 的排列的基础上插入 n 从而得到 n 的排列,由于插入 n 至多使欧拉数增加 1,所以 A(n, m) 可以仅从 A(n-1, m-1) 处和 A(n-1, m) 处转移得到。

考虑 n 插入的位置:当 p_{i-1} < p_{i} 时,若将 n 插到 p_{i} 之前,即将 n 插入到 "上升" 中,排列的欧拉数不变;此外,将 n 插在排列之前,排列的欧拉数也不变;否则,若将 n 插到其余位置,排列的欧拉数增加 1。

考虑从 A(n-1, m-1) 转移到 A(n, m),此时需要使欧拉数增加 1,此时不能将 n 插在 "上升" 中或者排列开头,共有 n - (m-1) - 1 = n-m 种方案。

考虑从 A(n-1, m) 转移到 A(n, m),此时需要欧拉数保持不变,只能将 n 插在 "上升" 中或者排列开头,共 m+1 种方案。

综上所述,有

A(n, m) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & m > n \text{ or } n = 0 \\ 1 & m = 0 \\ (n-m) \cdot A(n-1, m-1) + (m+1) \cdot A(n-1, m) & \text{otherwise} \\ \end{array} \right.

实现

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int eulerianNumber(int n, int m) {
  if (m >= n || n == 0) return 0;
  if (m == 0) return 1;
  return (((n - m) * eulerianNumber(n - 1, m - 1)) +
          ((m + 1) * eulerianNumber(n - 1, m)));
}

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