跳转至

欧拉函数

欧拉函数是什么? \varphi(n) 表示的是小于等于 n n 互质的数的个数。

比如说 \varphi(1) = 1

当 n 是质数的时候,显然有 \varphi(n) = n - 1

利用唯一分解定理,我们可以把一个整数唯一地分解为质数幂次的乘积,

n = p_1^{k_1}p_2^{k_2} \cdots p_s^{k_s} ,其中 p_i 是质数,那么定义 \varphi(n) = n \times \prod_{i = 1}^s{\frac{p_i - 1}{p_i}}

欧拉函数的一些神奇性质

  • 欧拉函数是积性函数。

    积性是什么意思呢?如果有 \gcd(a, b) = 1 ,那么 \varphi(a \times b) = \varphi(a) \times \varphi(b)

    特别地,当 n 是奇数时 \varphi(2n) = 2 \times \varphi(n)

  • n = \sum_{d | n}{\varphi(d)}

    利用 莫比乌斯反演 相关知识可以得出。

    也可以这样考虑:如果 \gcd(k, n) = d ,那么 \gcd(\frac{k}{d},\frac{n}{d}) = 1 。( k < n

    如果我们设 f(x) 表示 \gcd(k, n) = x 的数的个数,那么 n = \sum_{i = 1}^n{f(x)}

    根据上面的证明,我们发现, f(x) = \varphi(\frac{n}{x}) ,从而 n = \sum_{d | n}\varphi(\frac{n}{d}) 。注意到约数 d \frac{n}{d} 具有对称性,所以上式化为 n = \sum_{d | n}\varphi(d)

  • n = p^k ,其中 p 是质数,那么 \varphi(n) = p^k - p^{k - 1} 。 (根据定义可知)

如何求欧拉函数值

如果只要求一个数的欧拉函数值,那么直接根据定义质因数分解的同时求就好了。

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
int euler_phi(int n) {
  int m = int(sqrt(n + 0.5));
  int ans = n;
  for (int i = 2; i <= m; i++)
    if (n % i == 0) {
      ans = ans / i * (i - 1);
      while (n % i == 0) n /= i;
    }
  if (n > 1) ans = ans / n * (n - 1);
  return ans;
}

如果是多个数的欧拉函数值,可以利用后面会提到的线性筛法来求得。 详见:筛法求欧拉函数


评论