中国剩余定理

「物不知数」问题

有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二。问物几何?

即求满足以下条件的整数:除以 3 2 ,除以 5 3 ,除以 7 2

该问题最早见于《孙子算经》中,并有该问题的具体解法。宋朝数学家秦九韶于 1247 年《数书九章》卷一、二《大衍类》对「物不知数」问题做出了完整系统的解答。上面具体问题的解答口诀由明朝数学家程大位在《算法统宗》中给出:

三人同行七十希,五树梅花廿一支,七子团圆正半月,除百零五便得知。

2\times 70+3\times 21+2\times 15=233=2\times 105+23 ,故答案为 23

算法简介及过程

中国剩余定理 (Chinese Remainder Theorem, CRT) 可求解如下形式的一元线性同余方程组(其中 n_1, n_2, \cdots, n_k 两两互质):

\begin{cases} x &\equiv a_1 \pmod {n_1} \\ x &\equiv a_2 \pmod {n_2} \\ &\vdots \\ x &\equiv a_k \pmod {n_k} \\ \end{cases}

上面的「物不知数」问题就是一元线性同余方程组的一个实例。

算法流程

  1. 计算所有模数的积 n
  2. 对于第 i 个方程:
    1. 计算 m_i=\frac{n}{n_i}
    2. 计算 m_i 在模 n_i 意义下的 逆元 m_i^{-1}
    3. 计算 c_i=m_im_i^{-1} 不要对 n_i 取模)。
  3. 方程组的唯一解为: a=\sum_{i=1}^k a_ic_i \pmod n

伪代码

1
2
3
4
5
6
7
8
9
n ← 1
ans ← 0
for i = 1 to k
  n ← n * n[i]
for i = 1 to k
  m ← n / n[i]
  b ← inv(m, n[i])               // b * m mod n[i] = 1
  ans ← (ans + a[i] * m * b) mod n
return ans

算法的证明

我们需要证明上面算法计算所得的 a 对于任意 i=1,2,\cdots,k 满足 a\equiv a_i \pmod {n_i}

i\neq j 时,有 m_j \equiv 0 \pmod {n_i} ,故 c_j \equiv m_j \equiv 0 \pmod {n_i} 。又有 c_i \equiv m_i \cdot (m_i^{-1} \bmod {n_i}) \equiv 1 \pmod {n_i} ,所以我们有:

\begin{aligned} a&\equiv \sum_{j=1}^k a_jc_j &\pmod {n_i} \\ &\equiv a_ic_i &\pmod {n_i} \\ &\equiv a_i \cdot m_i \cdot (m^{-1}_i \bmod n_i) &\pmod {n_i} \\ &\equiv a_i &\pmod {n_i} \end{aligned}

即对于任意 i=1,2,\cdots,k ,上面算法得到的 a 总是满足 a\equiv a_i \pmod{n_i} ,即证明了解同余方程组的算法的正确性。

因为我们没有对输入的 a_i 作特殊限制,所以任何一组输入 \{a_i\} 都对应一个解 a

另外,若 x\neq y ,则总存在 i 使得 x y 在模 n_i 下不同余。

故系数列表 \{a_i\} 与解 a 之间是一一映射关系,方程组总是有唯一解。

下面演示 CRT 如何解「物不知数」问题。

  1. n=3\times 5\times 7=105
  2. 三人同行 七十 希: n_1=3, m_1=n/n_1=35, m_1^{-1}\equiv 2\pmod 3 ,故 c_1=35\times 2=70
  3. 五树梅花 廿一 支: n_2=5, m_2=n/n_2=21, m_2^{-1}\equiv 1\pmod 5 ,故 c_2=21\times 1=21
  4. 七子团圆正 半月 n_3=7, m_3=n/n_3=15, m_3^{-1}\equiv 1\pmod 7 ,故 c_3=15\times 1=15
  5. 所以方程组的唯一解为 a\equiv 2\times 70+3\times 21+2\times 15\equiv 233\equiv 23 \pmod {105} 。(除 百零五 便得知)

Garner 算法

CRT 的另一个用途是用一组比较小的质数表示一个大的整数。

例如,若 a 满足如下线性方程组,且 a < \prod_{i=1}^k p_i (其中 p_i 为质数):

\begin{cases} a &\equiv a_1 \pmod {p_1} \\ a &\equiv a_2 \pmod {p_2} \\ &\vdots \\ a &\equiv a_k \pmod {p_k} \\ \end{cases}

我们可以用以下形式的式子(称作 a 的混合基数表示)表示 a

a = x_1 + x_2 p_1 + x_3 p_1 p_2 + \ldots + x_k p_1 \ldots p_{k-1}

Garner 算法 将用来计算系数 x_1, \ldots, x_k

r_{ij} p_i 在模 p_j 意义下的

p_i \cdot r_{i,j} \equiv 1 \pmod{p_j}

a 代入我们得到的第一个方程:

a_1 \equiv x_1 \pmod{p_1}

代入第二个方程得出:

a_2 \equiv x_1 + x_2 p_1 \pmod{p_2}

方程两边减 x_1 ,除 p_1 后得

\begin{array}{rclr} a_2 - x_1 &\equiv& x_2 p_1 &\pmod{p_2} \\ (a_2 - x_1) r_{1,2} &\equiv& x_2 &\pmod{p_2} \\ x_2 &\equiv& (a_2 - x_1) r_{1,2} &\pmod{p_2} \end{array}

类似地,我们可以得到:

x_k=(...((a_k-x_1)r_{1,k}-x_2)r_{2,k})-...)r_{k-1,k} \bmod p_k
参考代码
1
2
3
4
5
6
7
8
for (int i = 0; i < k; ++i) {
  x[i] = a[i];
  for (int j = 0; j < i; ++j) {
    x[i] = r[j][i] * (x[i] - x[j]);
    x[i] = x[i] % p[i];
    if (x[i] < 0) x[i] += p[i];
  }
}

该算法的时间复杂度为 O(k^2)

应用

某些计数问题或数论问题出于加长代码、增加难度、或者是一些其他原因,给出的模数:不是质数

但是对其质因数分解会发现它没有平方因子,也就是该模数是由一些不重复的质数相乘得到。

那么我们可以分别对这些模数进行计算,最后用 CRT 合并答案。

下面这道题就是一个不错的例子。

洛谷 P2480 [SDOI2010]古代猪文

给出 G,n 1 \leq G,n \leq 10^9 ),求:

G^{\sum_{k\mid n}\binom{n}{k}} \bmod 999~911~659

首先,当 G=999~911~659 时,所求显然为 0

否则,根据 欧拉定理,可知所求为:

G^{\sum_{k\mid n}\binom{n}{k} \bmod 999~911~658} \bmod 999~911~659

现在考虑如何计算:

\sum_{k\mid n}\binom{n}{k} \bmod 999~911~658

因为 999~911~658 不是质数,无法保证 \forall x \in [1,999~911~657] x 都有逆元存在,上面这个式子我们无法直接计算。

注意到 999~911~658=2 \times 3 \times 4679 \times 35617 ,其中每个质因子的最高次数均为一,我们可以考虑分别求出 \sum_{k\mid n}\binom{n}{k} 在模 2 3 4679 35617 这几个质数下的结果,最后用中国剩余定理来合并答案。

也就是说,我们实际上要求下面一个线性方程组的解:

\begin{cases} x \equiv a_1 \pmod 2\\ x \equiv a_2 \pmod 3\\ x \equiv a_3 \pmod {4679}\\ x \equiv a_4 \pmod {35617} \end{cases}

而计算一个组合数对较小的质数取模后的结果,可以利用 卢卡斯定理

扩展:模数不互质的情况

两个方程

设两个方程分别是 x\equiv a_1 \pmod {m_1} x\equiv a_2 \pmod {m_2}

将它们转化为不定方程: x=m_1p+a_1=m_2q+a_2 ,其中 p, q 是整数,则有 m_1p-m_2q=a_2-a_1

由裴蜀定理,当 a_2-a_1 不能被 \gcd(m_1,m_2) 整除时,无解;

其他情况下,可以通过扩展欧几里得算法解出来一组可行解 (p, q)

则原来的两方程组成的模方程组的解为 x\equiv b\pmod M ,其中 b=m_1p+a_1 M=\text{lcm}(m_1, m_2)

多个方程

用上面的方法两两合并即可。

习题


评论