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复数

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1. 复数的引入,定义和分类

1.1. 复数的引入

注:下面的引入方法来自人教版高中数学 A 版选修 2-2。

我们在实数域中,说 x^2+1=0 这个二次方程无解。这个方程无解,那么我们能不能强行让它有解?如果让它有解的话,确实我们解决了问题,但是这个解的意义是什么?

我们尝试一下,定义一个新数 \text{i} \text{i}^2+1=0 ,那么 x^2+1=0 就有一个解 x=\text{i} 了。

我们希望引入的这个新数与实数域中的数一样,能与实数进行加法和乘法运算,还保留各种运算律。

那么我们很容易想到 a+b\text{i} 这种形式,当然其中 a,b 都是实数。把 \text{i} 看做类似变量的东西,验证其运算性质。我们可以发现,得到的结果全部有着 a+b\text{i} 的类似形式。

那么这样的性质就与实数域类似了,我们把所有有着 a+b\text{i} 形式的数放入一个集合中,就出现了复数集 \mathbb{C}=\{a+b\text{i} \mid a,b\in \mathbb{R}\}

我们可以发现,这个集合中的数和实数集中的数类似,都有在集合中任选两个数进行四则运算,得到的数都是原集合中的数的性质。我们说复数集对于四则运算是封闭的

1.2. 复数的定义和分类

哇哦我们定义的数的性质这么好!

我们定义形如 a+b\text{i} ,其中 a,b\in \mathbb{R} 的数叫做复数,其中 \text{i} 被称为虚数单位,全体复数的集合叫做复数集

复数通常用 z 表示,即 z=a+b\text{i} 。这种形式被称为复数的代数形式。其中 a 称为复数 z 实部 b 称为复数 z 虚部。如无特殊说明,都有 a,b\in \mathbb{R}

对于一个复数 z ,当且仅当 b=0 时,它是实数,当 b\not = 0 时,它是虚数,当 a=0 b\not = 0 时,它是纯虚数。

纯虚数,虚数,实数,复数的关系如下图所示。

图片来自:人教版高中数学 A 版选修 2-2 第 103 页

2. 复数的性质与运算

2.1. 复数的几何意义

我们知道了 a+b\text{i} 这样类似的形式的数被称为复数,并且给出了定义和分类,我们还可以挖掘一下更深层的性质。

我们把所有实数都放在了数轴上,并且发现数轴上的点与实数一一对应。我们考虑对复数也这样处理。

首先我们定义复数相等:两个复数 z_1=a+b\text{i},z_2=c+d\text{i} 是相等的,当且仅当 a=c b=d

这么定义是十分自然的,在此不做过多解释。

也就是说,我们可以用唯一的有序实数对 (a,b) 表示一个复数 z=a+b\text{i} 。这样,联想到平面直角坐标系,我们可以发现复数集与平面直角坐标系中的点集一一对应。好了,我们找到了复数的一种几何意义。

那么这个平面直角坐标系就不再一般,因为平面直角坐标系中的点具有了特殊意义——表示一个复数,所以我们把这样的平面直角坐标系称为复平面 x 轴称为实轴 y 轴称为虚轴。我们进一步地说:复数集与复平面内所有的点所构成的集合是一一对应的

我们考虑到学过的平面向量的知识,发现向量的坐标表示也是一个有序实数对 (a,b) ,显然,复数 z=a+b\text{i} 对应复平面内的点 Z(a,b) ,那么它还对应平面向量 \overrightarrow{OZ}=(a,b) ,于是我们又找到了复数的另一种几何意义:复数集与复平面内的向量所构成的集合是一一对应的(实数 0 与零向量对应)

于是,我们由向量的知识迁移到复数上来,定义复数的模就是复数所对应的向量的模。复数 z=a+b\text{i} 的模 |z|=\sqrt{a^2+b^2}

于是为了方便,我们常把复数 z=a+b\text{i} 称为点 Z 或向量 \overrightarrow {OZ} ,并规定相等的向量表示同一个复数。

并且由向量的知识我们发现,虚数不可以比较大小(但是实数是可以的)。

2.2. 复数的运算

2.2.1 复数的加法与减法

我们规定,复数的加法规则如下:

z_1=a+b\text{i},z_2=c+d\text{i} ,那么

z_1+z_2=(a+c)+(b+d)\text{i}

很明显,两个复数的和仍为复数。

考虑到向量的加法运算,我们发现复数的加法运算符合向量的加法运算法则,这同样证明了复数的几何意义的正确性。

同样可以验证,复数的加法满足交换律和结合律。即:

z_1+z_2=z_2+z_1\\ (z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3)

减法作为加法的逆运算,我们可以通过加法法则与复数相等的定义来推导出减法法则:

z_1-z_2=(a-c)+(b-d)\text{i}

这同样符合向量的减法运算。

2.2. 复数的乘法与除法

我们规定,复数的加法规则如下:

z_1=a+b\text{i},z_2=c+d\text{i} ,那么

\begin{align} z_1z_2&=(a+b\text{i})(c+d\text{i})\\ &=ac+bc\text{i}+ad\text{i}+bd\text{i}^2\\ &=(ac-bd)+(bc+ad)\text{i} \end{align}

可以看出,两个复数相乘类似于两个多项式相乘,只需要把 \text{i}^2 换成 -1 ,并将实部与虚部分别合并即可。

复数确实与多项式有关,因为复数域是实系数多项式环模掉 x^2+1 生成的理想。(这句话不明白其实也没有关系)

复数的乘法与向量的向量积形式类似,是由于复数集是数环。

于是容易知道,复数乘法满足交换律,结合律和对加法的分配律,即:

z_1z_2=z_2z_1\\ (z_1z_2)z_3=z_1(z_2z_3)\\ z_1(z_2+z_3)=z_1z_2+z_1z_3

由于满足运算律,我们可以发现实数域中的乘法公式在复数域中同样适用

除法运算是乘法运算的逆运算,我们可以推导一下:

\begin{align} \frac{a+b\text{i}}{c+d\text{i}}&=\frac{(a+b\text{i})(c-d\text{i})}{(c+d\text{i})(c-d\text{i})}\\ &=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\text{i} &(c+d\text{i}\not =0) \end{align}

为了分母实数化,我们乘了一个 c-d\text{i} ,这个式子很有意义。

我们定义,当两个虚数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数。通常记 z=a+b\text{i} 的共轭复数为 \bar z=a-b\text{i} 。我们可以发现,两个复数互为共轭复数,那么它们关于实轴对称

由于向量没有除法,这里不讨论与向量的关系。


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