错位排列

错位排列

定义

错位排列(derangement)是没有任何元素出现在其有序位置的排列。即,对于 的排列 ,如果满足 ,则称 的错位排列。

例如,三元错位排列有 。四元错位排列有 。错位排列是没有不动点的排列,即没有长度为 1 的循环。

容斥原理的计算

全集 即为 的排列,;属性就是 . 套用补集的公式,问题变成求 .

可以知道, 的含义是满足 的排列的数量。用容斥原理把问题式子展开,需要对若干个特定的集合的交集求大小,即:

其中省略了 的条件以方便表示。上述 个集合的交集表示有 个变量满足 的排列数,而剩下 个数的位置任意,因此排列数:

那么选择 个元素的方案数为 ,因此有:

因此 的错位排列数为:

错位排列数列的前几项为 OEIS A000166)。

递推的计算

把错位排列问题具体化,考虑这样一个问题:

封不同的信,编号分别是 ,现在要把这五封信放在编号 的信封中,要求信封的编号与信的编号不一样。问有多少种不同的放置方法?

假设考虑到第 个信封,初始时暂时把第 封信放在第 个信封中,然后考虑两种情况的递推:

  • 前面 个信封全部装错;
  • 前面 个信封有一个没有装错其余全部装错。

对于第一种情况,前面 个信封全部装错:因为前面 个已经全部装错了,所以第 封只需要与前面任一一个位置交换即可,总共有 种情况。

对于第二种情况,前面 个信封有一个没有装错其余全部装错:考虑这种情况的目的在于,若 个信封中如果有一个没装错,那么把那个没装错的与 交换,即可得到一个全错位排列情况。

其他情况,不可能通过一次操作来把它变成一个长度为 的错排。

于是可得,错位排列数满足递推关系:

这里也给出另一个递推关系:

其他关系

错位排列数有一个向下取整的简单表达式,增长速度与阶乘仅相差常数:

随着元素数量的增加,形成错位排列的概率 P 接近:


评论