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位运算

位运算就是把整数转换为二进制后，每位进行相应的运算得到结果。

常用的运算符共 6 种，分别为与（&）、或（|）、异或（^）、取反（~）、左移（<<）和右移（>>）。

与、或、异或¶

与（&）或（|）和异或（^）这三者都是两者间的运算，因此在这里一起讲解。

表示把两个整数分别转换为二进制后各位逐一比较。

运算符	解释
`&`	只有在两个（对应位数中）都为 1 时才为 1
`\|`	只要在两个（对应位数中）有一个 1 时就为 1
`^`	只有两个（对应位数）不同时才为 1

^ 运算的逆运算是它本身，也就是说两次异或同一个数最后结果不变，即 (a ^ b) ^ b = a。

举例：

取反¶

取反是对 1 个数进行的计算。

~ 把的补码中的 0 和 1 全部取反（0 变为 1，1 变为 0）。

补码——正数的补码为其（二进制）本身，负数的补码是其（二进制）取反后。

举例：

左移和右移¶

与前面的 4 种运算相似，这两种运算仍是把整数转换为二进制后进行操作。

左移（<<）将转化为二进制后的数字整体向左移动。

num << i // 表示将转换为二进制后向左移动位（所得的值）

右移（>>）将转化为二进制后的数字整体向右移动。

num >> i // 表示将转换为二进制后向左移动位（所得的值）

举例：

在 C++ 中，右移操作中右侧多余的位将会被舍弃。而左侧较为复杂：对于无符号数，会在左侧补 0；而对于有符号数，则会用最高位的数补齐（Replicate most significant bit on left）。

注意：

左移和右移是有返回值的，并非对本身进行操作。
左移和右移的优先级低于四则运算符，例如会被解释为，所以必要的时候，要使用括号。

位运算的应用¶

如果是正数，num << i 相当于乘以 2 的次方，而 num >> i 相当于除以 2 的次方。 (位运算比 % 和 / 操作快得多) (据 2018JSOI 夏令营，效率可以提高 60%)

Warning

为什么要强调是正数呢？考虑一下 -1 >> 3

num * 10 = (num<<1) + (num<<3)

num & 1 相当于取二进制的最末位，可用于判断的奇偶性，二进制的最末位为 0 表示该数为偶数，最末位为 1 表示该数为奇数。

// 利用位运算的快捷的 swap 代码
void swap(int &a, int &b) {
  a = a ^ b;
  b = a ^ b;
  a = a ^ b;
}

一个数的二进制表示可以看作是一个集合（0 表示不在集合中，1 表示在集合中）。比如集合 {1, 3, 4, 8}，可以表示成 0b00000000000000000000000100011010，十进制就是。

而对应的位运算也就可以看作是对集合进行的操作。

操作	集合表示	位运算语句
交集		`a & b`
并集		`a \| b`
补集		`~a`
差集		`~a`
对称差		`a ^ b`

位运算的常用方法¶

乘以 2 运算。

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int mulTwo(int n) {  // 计算 n*2
  return n << 1;
}

除以 2 运算。

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2
3

int divTwo(int n) {  // 负奇数的运算不可用
  return n >> 1;     // 除以 2
}

乘以 2 的次方。

1
2
3

int mulTwoPower(int n, int m) {  // 计算 n*(2^m)
  return n << m;
}

除以 2 的次方。

1
2
3

int divTwoPower(int n, int m) {  // 计算 n/(2^m)
  return n >> m;
}

判断一个数的奇偶性。

1	boolean isOddNumber(int n) { return n & 1; }

取绝对值（某些机器上，效率比 n > 0 ? n : -n 高）。

int abs(int n) {
  return (n ^ (n >> 31)) - (n >> 31);
  /* n>>31 取得 n 的符号，若 n 为正数，n>>31 等于 0，若 n 为负数，n>>31 等于 - 1
     若 n 为正数 n^0=0, 数不变，若 n 为负数有 n^-1
     需要计算 n 和 - 1 的补码，然后进行异或运算，
     结果 n 变号并且为 n 的绝对值减 1，再减去 - 1 就是绝对值 */
}

取两个数的最大值（某些机器上，效率比 a > b ? a : b 高）。

int max(int a, int b) {
  return b & ((a - b) >> 31) | a & (~(a - b) >> 31);
  /* 如果 a>=b,(a-b)>>31 为 0，否则为 - 1 */
}

取两个数的最小值（某些机器上，效率比 a > b ? b : a 高）。

int min(int a, int b) {
  return a & ((a - b) >> 31) | b & (~(a - b) >> 31);
  /* 如果 a>=b,(a-b)>>31 为 0，否则为 - 1 */
}

判断符号是否相同。

boolean isSameSign(int x, int y) {  // 有 0 的情况例外
  return (x ^ y) >=
         0;  // true 表示 x 和 y 有相同的符号，false 表示 x,y 有相反的符号。
}

计算 2 的次方。

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int getFactorialofTwo(int n) {  // n > 0
  return 1 << n;                // 2 的 n 次方
}

判断一个数是不是 2 的幂。

boolean isFactorialofTwo(int n) {
  return n > 0 ? (n & (n - 1)) == 0 : false;
  /* 如果是 2 的幂，n 一定是 100... n-1 就是 1111....
     所以做与运算结果为 0 */
}

对 2 的次方取余。

int quyu(int m, int n) {  // n 为 2 的次方
  return m & (n - 1);
  /* 如果是 2 的幂，n 一定是 100... n-1 就是 1111....
     所以做与运算结果保留 m 在 n 范围的非 0 的位 */
}

求两个整数的平均值。

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int getAverage(int x, int y) {
  return (x + y) >> 1;
  ｝

遍历一个集合的子集

int b = 0;
do {
  // process subset b
} while (b = (b - x) & x);

题目推荐¶

CODEVS 2743 黑白棋游戏

参考¶

位运算技巧：https://graphics.stanford.edu/~seander/bithacks.html

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