位运算

位运算就是基于整数的二进制表示进行的运算。由于计算机内部就是以二进制来存储数据,位运算是相当快的。

常用的运算符共 6 种,分别为与( & )、或( | )、异或( ^ )、取反( ~ )、左移( << )和右移( >> )。

与、或、异或

与( & )或( | )和异或( ^ )这三者都是两数间的运算,因此在这里一起讲解。

它们都是将两个整数作为二进制数,对二进制表示中的每一位逐一运算。

运算符 解释
& 只有两个对应位都为 1 时才为 1
| 只要两个对应位中有一个 1 时就为 1
^ 只有两个对应位不同时才为 1

异或运算的逆运算是它本身,也就是说两次异或同一个数最后结果不变,即 a \text{^} b \text{^} b = a

举例:

\begin{aligned} 5 &=(101)_2\\ 6 &=(110)_2\\ 5\&6 &=(100)_2 =\ 4\\ 5|6 &=(111)_2 =\ 7\\ 5\text{^}6 &=(011)_2 =\ 3\\ \end{aligned}

取反

取反是对一个数 num 进行的计算,即单目运算。

~ num 的补码中的 0 和 1 全部取反(0 变为 1,1 变为 0)。

补码:在二进制表示下,正数的补码为其本身,负数的补码是其按位取反后加一,符号位(即第一位)不变。有符号整数的符号位在 ~ 运算中同样会取反。

举例(有符号整数):

\begin{aligned} 5&=(00000101)_2\\ \text{~}5&=(11111010)_2=-6\\ -5\text{ 的补码}&=(11111011)_2\\ \text{~}(-5)&=(00000100)_2=4 \end{aligned}

左移和右移

num << i 表示将 num 的二进制表示向左移动 i 位所得的值。

num >> i 表示将 num 的二进制表示向右移动 i 位所得的值。

举例:

\begin{aligned} 11&=(00001011)_2\\ 11<<3&=(01011000)_2=88\\ 11>>2&=(00000010)_2=2 \end{aligned}

在 C++ 中,右移操作中右侧多余的位将会被舍弃,而左侧较为复杂:对于无符号数,会在左侧补 0;而对于有符号数,则会用最高位的数(其实就是符号位,非负数为 0,负数为 1)补齐。左移操作总是在右侧补 0。

复合赋值位运算符

+= , -= 等运算符类似,位运算也有复合赋值运算符: &= , |= , ^= , <<= , >>= 。(取反是单目运算,所以没有。)

关于优先级

位运算的优先级低于算术运算符(除了取反),而按位与、按位或及异或低于比较运算符(详见 运算页面 ),所以使用时需多加注意,在必要时添加括号。

位运算的应用

位运算一般有三种作用:

  1. 高效地进行某些运算,代替其它低效的方式。

  2. 表示集合。(常用于 状压 DP 。)

  3. 题目本来就要求进行位运算。

需要注意的是,用位运算代替其它运算方式(即第一种应用)在很多时候并不能带来太大的优化,反而会使代码变得复杂,使用时需要斟酌。(但像“乘 2 的非负整数次幂”和“除以 2 的非负整数次幂”就最好使用位运算,因为此时使用位运算可以优化复杂度。)

乘 2 的非负整数次幂

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int mulPowerOfTwo(int n, int m) {  // 计算 n*(2^m)
  return n << m;
}

除以 2 的非负整数次幂

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int divPowerOfTwo(int n, int m) {  // 计算 n/(2^m)
  return n >> m;
}

Warning

我们平常写的除法是向 0 取整,而这里的右移是向下取整(注意这里的区别),即当数大于等于 0 时两种方法等价,当数小于 0 时会有区别,如: -1 / 2 的值为 0 ,而 -1 >> 1 的值为 -1

判断一个数是不是 2 的正整数次幂

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bool isPowerOfTwo(int n) { return n > 0 && (n & (n - 1)) == 0; }

对 2 的非负整数次幂取模

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int modPowerOfTwo(int x, int mod) { return x & (mod - 1); }

取绝对值

在某些机器上,效率比 n > 0 ? n : -n 高。

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int Abs(int n) {
  return (n ^ (n >> 31)) - (n >> 31);
  /* n>>31 取得 n 的符号,若 n 为正数,n>>31 等于 0,若 n 为负数,n>>31 等于 -1
     若 n 为正数 n^0=n, 数不变,若 n 为负数有 n^(-1)
     需要计算 n 和 -1 的补码,然后进行异或运算,
     结果 n 变号并且为 n 的绝对值减 1,再减去 -1 就是绝对值 */
}

取两个数的最大/最小值

在某些机器上,效率比 a > b ? a : b 高。

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// 如果 a>=b,(a-b)>>31 为 0,否则为 -1
int max(int a, int b) { return b & ((a - b) >> 31) | a & (~(a - b) >> 31); }
int min(int a, int b) { return a & ((a - b) >> 31) | b & (~(a - b) >> 31); }

判断符号是否相同

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bool isSameSign(int x, int y) {  // 有 0 的情况例外
  return (x ^ y) >= 0;
}

交换两个数

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void swap(int &a, int &b) { a ^= b ^= a ^= b; }

获取一个数二进制的某一位

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// 获取 a 的第 b 位,最低位编号为 0
int getBit(int a, int b) { return (a >> b) & 1; }

表示集合

一个数的二进制表示可以看作是一个集合(0 表示不在集合中,1 表示在集合中)。比如集合 {1, 3, 4, 8} ,可以表示成 (100011010)_2 。而对应的位运算也就可以看作是对集合进行的操作。

操作 集合表示 位运算语句
交集 a \cap b a & b
并集 a \cup b a|b
补集 \bar{a} ~a (全集为二进制都是 1)
差集 a \setminus b a & (~b)
对称差 a\triangle b a ^ b

遍历某个集合的子集

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// 遍历 u 的非空子集
for (int s = u; s; s = (s - 1) & u) {
  // s 是 u 的一个非空子集
}

用这种方法可以在 O(2^{popcount(u)}) popcount(u) 表示 u 二进制中 1 的个数)的时间复杂度内遍历 u 的子集,进而可以在 O(3^n) 的时间复杂度内遍历大小为 n 的集合的每个子集的子集。(复杂度为 O(3^n) 是因为每个元素都有 不在大子集中/只在大子集中/同时在大小子集中 三种状态。)

内建函数

C++ 中还有一些用于位运算的内建函数:

  1. __builtin_popcount(unsigned int n) :计算 n 的二进制中有多少个 1。

  2. __builtin_parity(unsigned int n) :判断 n 的二进制中 1 的个数的奇偶性。

  3. __builtin_ffs(unsigned int n) :计算 n 的二进制末尾最后一个 1 的位置,位置的编号从 1 开始(最低位编号为 1)。

  4. __builtin_ctz(unsigned int n) :计算 n 的二进制末尾连续 0 的个数。

  5. __builtin_clz(unsigned int x) :返回前导 0 的个数。

这些函数都可以在函数名末尾添加 ll (如 __builtin_popcountll )来使参数类型变为 unsigned long long 。 例如,我们有时候希望求出一个数以二为底的对数,如果不考虑 0 的特殊情况,就相当于这个数二进制的位数 -1 ,而一个数 n 的二进制表示的位数可以使用 32-__builtin_clz(n) 表示,因此 31-__builtin_clz(n) 就可以求出 n 以二为底的对数。

由于这些函数是内建函数,经过了编译器的高度优化,运行速度十分快(有些甚至只需要一条指令)。

更多位数

如果需要操作的集合非常大,可以使用 bitset

题目推荐

CodeVS 2743. 黑白棋游戏

参考

位运算技巧: https://graphics.stanford.edu/~seander/bithacks.html

c++ 位运算函数之__builtin_: https://blog.csdn.net/qq_40679299/article/details/80224547


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