群论
引入
在数学和抽象代数中,群论(Group Theory)主要研究叫做「群」的代数结构。
群的基本概念
定义
在研究集合时,我们使用子集(subset)、函数(function)和等价关系商(quotient by an equivalence relation)等概念。在研究群时,我们通过等价关系用子群(subgroup)、同态(homomorphism)和商群(quotient group)来代替。
群同态
群同态 是保持群结构的函数,可用于关联两个群。
从群
子群
子群:群
子群 是包含在更大的群
即,若
子群检验法(subgroup test)是群
陪集
陪集(coset)是一个群的子集,它包含通过将群的一个固定元素乘以给定子群的每个元素在右边或左边相乘以得到的所有乘积。
在许多情况下,两个群元素可能是等价的。例如,在正方形的对称群中,一旦进行了反射,仅靠旋转就不能使正方形回到原来的位置,所以可以认为正方形的反射位置相互等价,而不等价于未反射的位置;旋转操作与是否进行了反射无关。陪集被用来正式表达这个观点:一个子群
令
共轭
如果群中有一个元素
正规子群
正规子群(normal subgroup)是在共轭变换下不变的子群;换句话说,如果对于所有
生成子群
如果
商群
商群(quotient group)或因子群(factor group)是通过使用保留一些群结构的等价关系聚合更大群的相似元素获得的群。
在某些情况下,子群的陪集集可以被赋予群律,给出商群或因子群。为了使其成立,子群必须是正规子群(normal subgroup)。给定任何正规子群
阶
群
群
例如,群
拉格朗日定理:如果
证明的简要思路是:(左/右)陪集大小等于子群大小;而每个陪集要么不相交要么相等,且所有陪集的并是集合
由拉格朗日定理可立即得到:群中任意一个元素的阶,一定整除群的阶。
如果群
证明
显然,在
反证法。如果
有关阶的常见误区
- 群
的阶一定等于其中所有元素阶的最大值(或 )。
反例:二面体群 (相当于群 ,其中 表示异或)的阶是 ,但是除了 的阶为 ,其他元素的阶都是 。 - 如果群
中存在两个元素 、 的阶是 、 ,那么 中一定存在阶为 的元素。
反例:对称群 (相当于 的置换群)中存在阶为 和 的元素,却不存在阶为 的元素。
群作用
理解给定群结构的第三种方法,是考察群在集合上的作用。
比如说,本文考察的正三角形的空间对称群就是通过群的元素(即对称操作)在三角形上的作用来定义的。再比如说,对称群
群在集合上的作用
给定群
给定满足上述定义的群作用,自然有如下构造
这一映射,将每个群
根据定义,群中的幺元
这一群同态
下文中,为表述方便,将省略群作用中的
轨道
群作用是二元映射。固定群中的元素
轨道
给定群
比如说,如果考虑群
容易证明,群
稳定化子
群作用下,一个集合中的元素的轨道长度取决于有多少群里的元素对应的置换以它为不动点。比如说,之所以在群
这启发了如下的定义。
稳定化子
给定群
群作用的核就是集合中所有元素的稳定化子的交。
考虑群
定理
给定群
利用 Lagrange 定理,可以将轨道长和稳定化子的陪集数目联系起来。这就是 轨道稳定子定理(orbit-stabilizer theorem)。
轨道稳定子定理
给定群
可以在上面的例子中验证这一结论。
Burnside 引理
这一引理给出了群作用的轨道个数公式。
Burnside 引理
给定群
这里,
这一定理的证明十分简明。注意到,轨道个数可以写作
最后一个等号就是上面的推论;而右式和所要求证的只差一个 Fubini 定理,因为它们中的求和式都是对集合
这一定理在组合数学中有很多用处,可以用于统计本质不同的对象的数目。更多例子和讨论可以参考 Pólya 计数。
群的主要类别
置换群
置换群(Permutation group)是第一类被系统性研究的群。对给定的集合
循环群
循环群(cyclic group,记作
生成元
证明
记
设生成元
同样的,
阶为
证明
构造映射
矩阵群
矩阵群(Matrix group)或线性群(Linear group)是
矩阵群常见例子为 李群(Lie group)。
变换群
置换群和矩阵群是 变换群(Transformation group)的特例。
群作用于某个空间
抽象群
抽象群(Abstract group)通常通过生成器和关系来表示:
抽象群主要来源是通过正规子群
参考资料与注释
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