基本概念
群
在数学中,群(group)是由一种集合以及一个二元运算所组成的,符合「群公理」的代数结构。
一个群是一个集合
群公理包含下述四个性质(有时略去封闭性,只有三个性质)。若集合
- 封闭性:对于所有
中 ,运算 的结果也在 G 中。 - 结合律(associativity):对于
中所有的 ,等式 成立。 - 单位元(identity element,也称幺元):
中存在一个元素 ,使得对于 中的每一个元素 ,都有一个 成立。这样的元素是独一无二的。它被称为群的单位元。 - 逆元(inverse element):对于每个
中的 ,总存在 中的一个元素 使 ,此处 为单位元,称 为 的逆元,记为 。
则称
群的衍生结构
- 若代数结构
满足封闭性、结合律性质,则称 为一个 半群(semigroup)。 - 若半群
还满足单位元性质,则称 为一个 幺半群(monoid)。 - 若群
还满足 交换律(commutativity):对于 中所有的 ,等式 成立。
则称 为一个 阿贝尔群(Abelian group),又称 交换群(commutative group)。
环
形式上,环(ring)是一个集合
构成交换群,其单位元记为 , 中元素 的加法逆元记为 。 构成半群。- 分配律(distributivity):对于
中所有的 ,等式 和 成立。
Warning
在有的定义中,环必须存在乘法单位元;相对地,不存在乘法单位元的则被称为 伪环(rng 或 pseudo-ring)。遇到的时候需根据上下文加以判断。
维基百科采用的就是这种定义:1
In the terminology of this article, a ring is defined to have a multiplicative identity, while a structure with the same axiomatic definition but without the requirement for a multiplicative identity is instead called a rng (IPA:/rʊŋ/). For example, the set of even integers with the usual + and ⋅ is a rng, but not a ring. As explained in § History below, many authors apply the term "ring" without requiring a multiplicative identity.
在抽象代数中,研究环的分支为 环论。
环的衍生结构
- 若环
上的乘法还满足交换律,则称 为 交换环(commutative ring)。 - 若环
存在乘法单位元 ,则称 为 幺环(ring with identity)。 - 若幺环
的所有非 元素 存在乘法逆元 ,则称 为 除环(division ring)。
域
域(field)是一个比环性质更强的代数结构,具体地,域是交换除环。
域的研究方法和环大不相同。在抽象代数中,研究域的分支为 域论。
参考资料与注释
本页面最近更新:2024/10/25 01:03:52,更新历史
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