基本概念

群

在数学中，群（group）是由一种集合以及一个二元运算所组成的，符合「群公理」的代数结构。

一个群是一个集合加上对的二元运算。二元运算用 $\cdot$ 表示，它结合了任意两个元素和形成了一个属于的元素，记为 $a\cdot b$ 。

群公理包含下述四个性质（有时略去封闭性，只有三个性质）。若集合 $G\neq\varnothing$ 和上的运算 $\cdot$ 构成的代数结构 $(G,\cdot)$ 满足以下性质：

封闭性：对于所有中，运算 $a\cdot b$ 的结果也在 G 中。
结合律（associativity）：对于中所有的，等式 $(a \cdot b)\cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ 成立。
单位元（identity element，也称幺元）：中存在一个元素，使得对于中的每一个元素，都有一个 $e \cdot a=a\cdot e=a$ 成立。这样的元素是独一无二的。它被称为群的单位元。
逆元（inverse element）：对于每个中的，总存在中的一个元素使 $a \cdot b = b \cdot a = e$ ，此处为单位元，称为的逆元，记为 $a^{-1}$ 。

则称 $(G,\cdot)$ 为一个群。例如，整数集和整数间的加法 $(\mathbb{Z},+)$ 构成一个群，单位元是 0，一个整数的逆元是它的相反数。

群的衍生结构

若代数结构 $(G,\cdot)$ 满足封闭性、结合律性质，则称 $(G,\cdot)$ 为一个半群（semigroup）。
若半群 $(G,\cdot)$ 还满足单位元性质，则称 $(G,\cdot)$ 为一个 幺半群（monoid）。
若群 $(G,\cdot)$ 还满足 交换律（commutativity）：对于中所有的，等式 $a\cdot b=b\cdot a$ 成立。
则称 $(G,\cdot)$ 为一个 阿贝尔群（Abelian group），又称 交换群（commutative group）。

环

形式上，环（ring）是一个集合及对的两个二元运算：加法和乘法 $\cdot$ （注意这里不是我们一般所熟知的四则运算加法和乘法）所组成的，且满足如下性质的代数结构 $(R,+,\cdot)$ ：

构成交换群，其单位元记为，中元素的加法逆元记为。
$(R,\cdot)$ 构成半群。
分配律（distributivity）：对于中所有的，等式 $a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ 和 $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$ 成立。

Warning

在有的定义中，环必须存在乘法单位元；相对地，不存在乘法单位元的则被称为伪环（rng 或 pseudo-ring）。遇到的时候需根据上下文加以判断。

维基百科采用的就是这种定义：¹

In the terminology of this article, a ring is defined to have a multiplicative identity, while a structure with the same axiomatic definition but without the requirement for a multiplicative identity is instead called a rng (IPA:/rʊŋ/). For example, the set of even integers with the usual + and ⋅ is a rng, but not a ring. As explained in § History below, many authors apply the term "ring" without requiring a multiplicative identity.

在抽象代数中，研究环的分支为环论。

环的衍生结构

若环上的乘法还满足交换律，则称为 交换环（commutative ring）。
若环存在乘法单位元，则称为幺环（ring with identity）。
若幺环的所有非元素存在乘法逆元 $a^{-1}$ ，则称为除环（division ring）。

域

域（field）是一个比环性质更强的代数结构，具体地，域是交换除环。

域的研究方法和环大不相同。在抽象代数中，研究域的分支为域论。

参考资料与注释

Ring（mathematics）- Wikipedia ↩

本页面最近更新：2024/10/25 01:03:52，更新历史
发现错误？想一起完善？在 GitHub 上编辑此页！
本页面贡献者：c-forrest, billchenchina, Enter-tainer, Great-designer, iamtwz, ImpleLee, isdanni, jifbt, Menci, ouuan, Tiphereth-A, warzone-oier, Xeonacid
本页面的全部内容在 CC BY-SA 4.0 和 SATA 协议之条款下提供，附加条款亦可能应用