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树基础

图论中的树和现实生活中的树长得一样,只不过我们习惯于处理问题的时候把树根放到上方来考虑。这种数据结构看起来像是一个倒挂的树,因此得名。

一个没有固定根结点的树称为 无根树 (unrooted tree)。无根树有几种等价的形式化定义:

  • n 个结点, n-1 条边的连通无向图

  • 无向无环的连通图

  • 任意两个结点之间有且仅有一条简单路径的无向图

  • 任何边均为桥的连通图

  • 没有圈,且在任意不同两点间添加一条边之后所得图含唯一的一个圈的图

在无根树的基础上,指定一个结点称为 ,则形成一棵 有根树 (rooted tree)。有根树在很多时候仍以无向图表示,只是规定了结点之间的上下级关系,详见下文。

有关树的定义

适用于无根树和有根树

  • 森林(forest) :每个连通分量(连通块)都是树的图。按照定义,一棵树也是森林。

  • 生成树(spanning tree) :一个连通无向图的生成子图,同时要求是树。也即在图的边集中选择 n - 1 条,将所有顶点连通。

  • 结点的深度(depth) :到根结点的路径上的边数。

  • 树的高度(height) :所有结点的深度的最大值。

  • 无根树的叶结点(leaf node) :度数不超过 1 的结点。

为什么不是度数恰为 1

考虑 n = 1

  • 有根树的叶结点(leaf node) :没有子结点的结点。

只适用于有根树

  • 父亲(parent node) :对于除根以外的每个结点,定义为从该结点到根路径上的第二个结点。 根结点没有父结点。

  • 祖先(ancestor) :一个结点到根结点的路径上,除了它本身外的结点。 根结点的祖先集合为空。

  • 子结点(child node) :如果 u v 的父亲,那么 v u 的子结点。
    子结点的顺序一般不加以区分,二叉树是一个例外。

  • 兄弟(sibling) :同一个父亲的多个子结点互为兄弟。

  • 后代(descendant) :子结点和子结点的后代。
    或者理解成:如果 u v 的祖先,那么 v u 的后代。

  • 子树(subtree) :删掉与父亲相连的边后,该结点所在的子图。

tree-basic.png

特殊的树

  • 链(chain/path graph) :满足与任一结点相连的边不超过 2 条的树称为链。

  • 菊花/星星(star) :满足存在 u 使得所有除 u 以外结点均与 u 相连的树称为菊花。

  • 有根二叉树(rooted binary tree) :每个结点最多只有两个儿子(子结点)的有根树称为二叉树。常常对两个子结点的顺序加以区分,分别称之为左子结点和右子结点。
    大多数情况下, 二叉树 一词均指有根二叉树。

tree-binary.png

  • 完整二叉树(full/proper binary tree) :每个结点的子结点数量均为 0 或者 2 的二叉树。换言之,每个结点或者是树叶,或者左右子树均非空。

  • 完全二叉树(complete binary tree) :只有最下面两层结点的度数可以小于 2,且最下面一层的结点都集中在该层最左边的连续位置上。

  • 完美二叉树(perfect binary tree) :所有叶结点的深度均相同的二叉树称为完美二叉树。

Warning

Proper binary tree 的汉译名称不固定,且完全二叉树和满二叉树的定义在不同教材中定义不同,遇到的时候需根据上下文加以判断。

OIers 所说的“满二叉树”多指完美二叉树。

存储

只记录父结点

用一个数组 parent[N] 记录每个结点的父亲结点。

这种方式可以获得的信息较少,不便于进行自顶向下的遍历。常用于自底向上的递推问题中。

邻接表

  • 对于无根树:为每个结点开辟一个线性列表,记录所有与之相连的结点。
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    std::vector<int> adj[N];
    
  • 对于有根树:
    • 方法一:若给定的是无向图,则仍可以上述形式存储。下文将介绍如何区分结点的上下关系。
    • 方法二:若输入数据能够确保结点的上下关系,则可以利用这个信息。为每个结点开辟一个线性列表,记录其所有子结点;若有需要,还可在另一个数组中记录其父结点。
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      std::vector<int> children[N];
      int parent[N];
      
      当然也可以用其他方式(如链表)替代 std::vector

左孩子右兄弟表示法

对于有根树,存在一种简单的表示方法。

首先,给每个结点的所有子结点任意确定一个顺序。

此后为每个结点记录两个值:其 第一个子结点 child[u] 和其 下一个兄弟结点 sib[u] 。若没有子结点,则 child[u] 为空;若该结点是其父结点的最后一个子结点,则 sib[u] 为空。

遍历一个结点的所有子结点可由如下方式实现。

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int v = child[u];  // 从第一个子结点开始
while (v != EMPTY_NODE) {
  // ...
  // 处理子结点 v
  // ...
  v = sib[v];  // 转至下一个子结点,即 v 的一个兄弟
}

也可简写为以下形式。

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for (int v = child[u]; v != EMPTY_NODE; v = sib[v]) {
  // ...
  // 处理子结点 v
  // ...
}

二叉树

需要记录每个结点的左右子结点。

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int parent[N];
int lch[N], rch[N];
// -- or --
int child[N][2];

树的遍历

树上 DFS

在树上 DFS 是这样的一个过程:先访问根节点,然后分别访问根节点每个儿子的子树。

可以用来求出每个节点的深度、父亲等信息。

二叉树上 DFS

(图待补)

先序遍历

先访问根,再访问子节点。

中序遍历

先访问左子树,再访问根,再访问右子树。

后序遍历

先访问子节点,再访问根。

已知中序遍历和另外一个可以求第三个。

树上 BFS

从树根开始,严格按照层次来访问节点。

BFS 过程中也可以顺便求出各个节点的深度和父亲节点。

无根树

树的遍历一般为深度优先遍历,这个过程中最需要注意的是避免重复访问结点。

由于树是无环图,因此只需记录当前结点是由哪个结点访问而来,此后进入除该结点外的所有相邻结点,即可避免重复访问。

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void dfs(int u, int from) {
  // 递归进入除了 from 之外的所有子结点
  // 对于出发结点,from 为空,故会访问所有相邻结点,这与期望一致
  for (int v : adj[u])
    if (v != from) {
      dfs(v, u);
    }
}

// 开始遍历时
int EMPTY_NODE = -1;  // 一个不存在的编号
int root = 0;         // 任取一个结点作为出发点
dfs(root, EMPTY_NODE);

有根树

对于有根树,需要区分结点的上下关系。

考察上面的遍历过程,若从根开始遍历,则访问到一个结点时 from 的值,就是其父结点的编号。

通过这个方式,可以对于无向的输入求出所有结点的父结点,以及子结点列表。


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