LGV 引理

简介

Lindström–Gessel–Viennot lemma,即 LGV 引理,可以用来处理有向无环图上不相交路径计数等问题。

前置知识: 图论简介图论基础矩阵高斯消元求行列式

LGV 引理仅适用于 有向无环图

定义

\omega(P) 表示 P 这条路径上所有边的边权之积。(路径计数时,可以将边权都设为 1 )(事实上,边权可以为生成函数)

e(u, v) 表示 u v 每一条 路径 P \omega(P) 之和,即 e(u, v)=\sum\limits_{P:u\rightarrow v}\omega(P)

起点集合 A ,是有向无环图点集的一个子集,大小为 n

终点集合 B ,也是有向无环图点集的一个子集,大小也为 n

一组 A\rightarrow B 的不相交路径 S S_i 是一条从 A_i B_{\sigma(S)_i} 的路径( \sigma(S) 是一个排列),对于任何 i\ne j S_i S_j 没有公共顶点。

N(\sigma) 表示排列 \sigma 的逆序对个数。

引理

M = \begin{bmatrix}e(A_1,B_1)&e(A_1,B_2)&\cdots&e(A_1,B_n)\\ e(A_2,B_1)&e(A_2,B_2)&\cdots&e(A_2,B_n)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ e(A_n,B_1)&e(A_n,B_2)&\cdots&e(A_n,B_n)\end{bmatrix}
\det(M)=\sum\limits_{S:A\rightarrow B}(-1)^{N(\sigma(S))}\prod\limits_{i=1}^n \omega(S_i)

其中 \sum\limits_{S:A\rightarrow B} 表示满足上文要求的 A\rightarrow B 的每一组不相交路径 S

证明请参考 维基百科

例题

hdu5852 Intersection is not allowed!

题意:有一个 n\times n 的棋盘,一个棋子从 (x, y) 只能走到 (x, y+1) (x + 1, y) ,有 k 个棋子,一开始第 i 个棋子放在 (1, a_i) ,最终要到 (n, b_i) ,路径要两两不相交,求方案数对 10^9+7 取模。 1\le n\le 10^5 , 1\le k\le 100 ,保证 1\le a_1<a_2<\dots<a_n\le n , 1\le b_1<b_2<\dots<b_n\le n

观察到如果路径不相交就一定是 a_i b_i ,因此 LGV 引理中一定有 \sigma(S)_i=i ,不需要考虑符号问题。边权设为 1 ,直接套用引理即可。

(1, a_i) (n, b_j) 的路径条数相当于从 n-1+b_j-a_i 步中选 n-1 步向下走,所以 e(A_i, B_j)=\binom{n-1+b_j-a_i}{n-1}

行列式可以使用高斯消元求。

复杂度为 O(n+k^2(k + \log p)) ,其中 \log p 是求逆元复杂度。

参考代码
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#include <algorithm>
#include <cstdio>

typedef long long ll;

const int K = 105;
const int N = 100005;
const int mod = 1e9 + 7;

int T, n, k, a[K], b[K], fact[N << 1], m[K][K];

int qpow(int x, int y) {
  int out = 1;
  while (y) {
    if (y & 1) out = (ll)out * x % mod;
    x = (ll)x * x % mod;
    y >>= 1;
  }
  return out;
}
int c(int x, int y) {
  return (ll)fact[x] * qpow(fact[y], mod - 2) % mod *
         qpow(fact[x - y], mod - 2) % mod;
}
int main() {
  fact[0] = 1;
  for (int i = 1; i < N * 2; ++i) fact[i] = (ll)fact[i - 1] * i % mod;

  scanf("%d", &T);

  while (T--) {
    scanf("%d%d", &n, &k);

    for (int i = 1; i <= k; ++i) scanf("%d", a + i);
    for (int i = 1; i <= k; ++i) scanf("%d", b + i);

    for (int i = 1; i <= k; ++i) {
      for (int j = 1; j <= k; ++j) {
        if (a[i] <= b[j])
          m[i][j] = c(b[j] - a[i] + n - 1, n - 1);
        else
          m[i][j] = 0;
      }
    }

    for (int i = 1; i < k; ++i) {
      if (!m[i][i]) {
        for (int j = i + 1; j <= k; ++j) {
          if (m[j][i]) {
            std::swap(m[i], m[j]);
            break;
          }
        }
      }
      if (!m[i][i]) continue;
      for (int j = i + 1; j <= k; ++j) {
        if (!m[j][i]) continue;
        int mul = (ll)m[j][i] * qpow(m[i][i], mod - 2) % mod;
        for (int p = i; p <= k; ++p) {
          m[j][p] = (m[j][p] - (ll)m[i][p] * mul % mod + mod) % mod;
        }
      }
    }

    int ans = 1;

    for (int i = 1; i <= k; ++i) ans = (ll)ans * m[i][i] % mod;

    printf("%d\n", ans);
  }

  return 0;
}

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