一般图最大匹配 带花树算法(Blossom Algorithm) 开花算法(Blossom Algorithm,也被称做带花树)可以解决一般图最大匹配问题(maximum cardinality matchings)。此算法由 Jack Edmonds 在 1961 年提出。 经过一些修改后也可以解决一般图最大权匹配问题。 此算法是第一个给出证明说最大匹配有多项式复杂度。
一般图匹配和二分图匹配(bipartite matching)不同的是,图可能存在奇环。
以此图为例,若直接取反(匹配边和未匹配边对调),会使得取反后的 不合法,某些点会出现在两条匹配上,而问题就出在奇环。
下面考虑一般图的增广算法。 从二分图的角度出发,每次枚举一个未匹配点,设出发点为根,标记为 「o」 ,接下来交错标记 「o」 和 「i」 ,不难发现 「i」 到 「o」 这段边是匹配边。
假设当前点是 ,相邻点为 ,可以分为以下两种情况:
未拜访过,当 是未匹配点,则找到增广路径,否则从 的配偶找增广路。 已拜访过,遇到标记「o」代表需要 缩花 ,否则代表遇到偶环,跳过。遇到偶环的情况,将他视为二分图解决,故可忽略。缩花 后,再新图中继续找增广路。
设原图为 ,缩花 后的图为 ,我们只需要证明:
若 存在增广路, 也存在。 若 存在增广路, 也存在。
设非树边(形成环的那条边)为 ,定义花根 。 奇环是交替的,有且仅有 的两条邻边类型相同,都是非匹配边。 那么进入 的树边肯定是匹配边,环上除了 以外其他点往环外的边都是非匹配边。
观察可知,从环外的边出去有两种情况,顺时针或逆时针。
于是 缩花 与 不缩花 都不影响正确性。
实作上找到 花 以后我们不需要真的 缩花 ,可以用数组纪录每个点在以哪个点为根的那朵花中。
复杂度分析 Complexity Analysis 每次找增广路,遍历所有边,遇到 花 会维护 花 上的点, 。
枚举所有未匹配点做增广路,总共 。
参考代码 参考代码 1
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162 // graph
template < typename T >
class graph {
public :
struct edge {
int from ;
int to ;
T cost ;
};
vector < edge > edges ;
vector < vector < int >> g ;
int n ;
graph ( int _n ) : n ( _n ) { g . resize ( n ); }
virtual int add ( int from , int to , T cost ) = 0 ;
};
// undirectedgraph
template < typename T >
class undirectedgraph : public graph < T > {
public :
using graph < T >:: edges ;
using graph < T >:: g ;
using graph < T >:: n ;
undirectedgraph ( int _n ) : graph < T > ( _n ) {}
int add ( int from , int to , T cost = 1 ) {
assert ( 0 <= from && from < n && 0 <= to && to < n );
int id = ( int ) edges . size ();
g [ from ]. push_back ( id );
g [ to ]. push_back ( id );
edges . push_back ({ from , to , cost });
return id ;
}
};
// blossom / find_max_unweighted_matching
template < typename T >
vector < int > find_max_unweighted_matching ( const undirectedgraph < T > & g ) {
std :: mt19937 rng ( std :: random_device {}());
vector < int > match ( g . n , -1 ); // 匹配
vector < int > aux ( g . n , -1 ); // 时间戳记
vector < int > label ( g . n ); // 「o」或「i」
vector < int > orig ( g . n ); // 花根
vector < int > parent ( g . n , -1 ); // 父节点
queue < int > q ;
int aux_time = -1 ;
auto lca = [ & ]( int v , int u ) {
aux_time ++ ;
while ( true ) {
if ( v != -1 ) {
if ( aux [ v ] == aux_time ) { // 找到拜访过的点 也就是LCA
return v ;
}
aux [ v ] = aux_time ;
if ( match [ v ] == -1 ) {
v = -1 ;
} else {
v = orig [ parent [ match [ v ]]]; // 以匹配点的父节点继续寻找
}
}
swap ( v , u );
}
}; // lca
auto blossom = [ & ]( int v , int u , int a ) {
while ( orig [ v ] != a ) {
parent [ v ] = u ;
u = match [ v ];
if ( label [ u ] == 1 ) { // 初始点设为「o」找增广路
label [ u ] = 0 ;
q . push ( u );
}
orig [ v ] = orig [ u ] = a ; // 缩花
v = parent [ u ];
}
}; // blossom
auto augment = [ & ]( int v ) {
while ( v != -1 ) {
int pv = parent [ v ];
int next_v = match [ pv ];
match [ v ] = pv ;
match [ pv ] = v ;
v = next_v ;
}
}; // augment
auto bfs = [ & ]( int root ) {
fill ( label . begin (), label . end (), -1 );
iota ( orig . begin (), orig . end (), 0 );
while ( ! q . empty ()) {
q . pop ();
}
q . push ( root );
// 初始点设为「o」,这里以「0」代替「o」,「1」代替「i」
label [ root ] = 0 ;
while ( ! q . empty ()) {
int v = q . front ();
q . pop ();
for ( int id : g . g [ v ]) {
auto & e = g . edges [ id ];
int u = e . from ^ e . to ^ v ;
if ( label [ u ] == -1 ) { // 找到未拜访点
label [ u ] = 1 ; // 标记「i」
parent [ u ] = v ;
if ( match [ u ] == -1 ) { // 找到未匹配点
augment ( u ); // 寻找增广路径
return true ;
}
// 找到已匹配点 将与她匹配的点丢入queue 延伸交错树
label [ match [ u ]] = 0 ;
q . push ( match [ u ]);
continue ;
} else if ( label [ u ] == 0 && orig [ v ] != orig [ u ]) {
// 找到已拜访点 且标记同为「o」代表找到「花」
int a = lca ( orig [ v ], orig [ u ]);
// 找LCA 然后缩花
blossom ( u , v , a );
blossom ( v , u , a );
}
}
}
return false ;
}; // bfs
auto greedy = [ & ]() {
vector < int > order ( g . n );
// 随机打乱 order
iota ( order . begin (), order . end (), 0 );
shuffle ( order . begin (), order . end (), rng );
// 将可以匹配的点匹配
for ( int i : order ) {
if ( match [ i ] == -1 ) {
for ( auto id : g . g [ i ]) {
auto & e = g . edges [ id ];
int to = e . from ^ e . to ^ i ;
if ( match [ to ] == -1 ) {
match [ i ] = to ;
match [ to ] = i ;
break ;
}
}
}
}
}; // greedy
// 一开始先随机匹配
greedy ();
// 对未匹配点找增广路
for ( int i = 0 ; i < g . n ; i ++ ) {
if ( match [ i ] == -1 ) {
bfs ( i );
}
}
return match ;
}
UOJ #79. 一般图最大匹配 1
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197 #include <algorithm>
#include <cassert>
#include <iostream>
#include <numeric>
#include <queue>
#include <random>
#include <vector>
using namespace std ;
// graph
template < typename T >
class graph {
public :
struct edge {
int from ;
int to ;
T cost ;
};
vector < edge > edges ;
vector < vector < int >> g ;
int n ;
graph ( int _n ) : n ( _n ) { g . resize ( n ); }
virtual int add ( int from , int to , T cost ) = 0 ;
};
// undirectedgraph
template < typename T >
class undirectedgraph : public graph < T > {
public :
using graph < T >:: edges ;
using graph < T >:: g ;
using graph < T >:: n ;
undirectedgraph ( int _n ) : graph < T > ( _n ) {}
int add ( int from , int to , T cost = 1 ) {
assert ( 0 <= from && from < n && 0 <= to && to < n );
int id = ( int ) edges . size ();
g [ from ]. push_back ( id );
g [ to ]. push_back ( id );
edges . push_back ({ from , to , cost });
return id ;
}
};
// blossom / find_max_unweighted_matching
template < typename T >
vector < int > find_max_unweighted_matching ( const undirectedgraph < T > & g ) {
std :: mt19937 rng ( 114514 ); // 这里随机种子是无关紧要的
// 也可以用 chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count()
// 获取当前时间
vector < int > match ( g . n , -1 ); // 匹配
vector < int > aux ( g . n , -1 ); // 时间戳记
vector < int > label ( g . n ); // "o" or "i"
vector < int > orig ( g . n ); // 花根
vector < int > parent ( g . n , -1 ); // 父节点
queue < int > q ;
int aux_time = -1 ;
auto lca = [ & ]( int v , int u ) {
aux_time ++ ;
while ( true ) {
if ( v != -1 ) {
if ( aux [ v ] == aux_time ) { // 找到拜访过的点 也就是LCA
return v ;
}
aux [ v ] = aux_time ;
if ( match [ v ] == -1 ) {
v = -1 ;
} else {
v = orig [ parent [ match [ v ]]]; // 以匹配点的父节点继续寻找
}
}
swap ( v , u );
}
}; // lca
auto blossom = [ & ]( int v , int u , int a ) {
while ( orig [ v ] != a ) {
parent [ v ] = u ;
u = match [ v ];
if ( label [ u ] == 1 ) { // 初始点设为"o" 找增广路
label [ u ] = 0 ;
q . push ( u );
}
orig [ v ] = orig [ u ] = a ; // 缩花
v = parent [ u ];
}
}; // blossom
auto augment = [ & ]( int v ) {
while ( v != -1 ) {
int pv = parent [ v ];
int next_v = match [ pv ];
match [ v ] = pv ;
match [ pv ] = v ;
v = next_v ;
}
}; // augment
auto bfs = [ & ]( int root ) {
fill ( label . begin (), label . end (), -1 );
iota ( orig . begin (), orig . end (), 0 );
while ( ! q . empty ()) {
q . pop ();
}
q . push ( root );
// 初始点设为 "o", 这里以"0"代替"o", "1"代替"i"
label [ root ] = 0 ;
while ( ! q . empty ()) {
int v = q . front ();
q . pop ();
for ( int id : g . g [ v ]) {
auto & e = g . edges [ id ];
int u = e . from ^ e . to ^ v ;
if ( label [ u ] == -1 ) { // 找到未拜访点
label [ u ] = 1 ; // 标记 "i"
parent [ u ] = v ;
if ( match [ u ] == -1 ) { // 找到未匹配点
augment ( u ); // 寻找增广路径
return true ;
}
// 找到已匹配点 将与她匹配的点丢入queue 延伸交错树
label [ match [ u ]] = 0 ;
q . push ( match [ u ]);
continue ;
} else if ( label [ u ] == 0 && orig [ v ] != orig [ u ]) {
// 找到已拜访点 且标记同为"o" 代表找到"花"
int a = lca ( orig [ v ], orig [ u ]);
// 找LCA 然后缩花
blossom ( u , v , a );
blossom ( v , u , a );
}
}
}
return false ;
}; // bfs
auto greedy = [ & ]() {
vector < int > order ( g . n );
// 随机打乱 order
iota ( order . begin (), order . end (), 0 );
shuffle ( order . begin (), order . end (), rng );
// 将可以匹配的点匹配
for ( int i : order ) {
if ( match [ i ] == -1 ) {
for ( auto id : g . g [ i ]) {
auto & e = g . edges [ id ];
int to = e . from ^ e . to ^ i ;
if ( match [ to ] == -1 ) {
match [ i ] = to ;
match [ to ] = i ;
break ;
}
}
}
}
}; // greedy
// 一开始先随机匹配
greedy ();
// 对未匹配点找增广路
for ( int i = 0 ; i < g . n ; i ++ ) {
if ( match [ i ] == -1 ) {
bfs ( i );
}
}
return match ;
}
int main () {
ios :: sync_with_stdio ( false );
int n , m ;
cin >> n >> m ;
undirectedgraph < int > g ( n );
while ( m -- ) {
int u , v ;
cin >> u >> v ;
g . add ( u - 1 , v - 1 ); // 0-based
}
auto match = find_max_unweighted_matching ( g );
cout << count_if ( match . begin (), match . end (), []( int x ) { return x != -1 ; }) /
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<< endl ;
for ( int i = 0 ; i < n ; i ++ ) cout << match [ i ] + 1 << " \n " [ i == n - 1 ];
return 0 ;
}
基于高斯消元的一般图匹配算法 提示 在阅读以下内容前,你可能需要先阅读「线性代数」部分中关于矩阵的内容:
这一部分将介绍一种基于高斯消元的一般图匹配算法。与传统的带花树算法相比,它的优势在于更易于理解与编写,同时便于解决「最大匹配中的必须点」等问题;缺点在于常数比较大,因为高斯消元的 基本是跑满的,而带花树一般跑不满。
前置知识:Tutte 矩阵 定义 :对于一张 个点的无向图 ,其 Tutte 矩阵 为一个 的矩阵,其中:
其中 是一个变量,因此 中共有 个变量。
在无歧义的情况下,以下将 简写为 。
定理 (Tutte 定理): 存在完美匹配当且仅当 。
证明 这里引入「偶环覆盖」的概念:一个无向图 的偶环覆盖指用若干偶环(包括二元环)不重不漏地覆盖所有的点。
易证 存在完美匹配当且仅当 存在偶环覆盖。
如果 存在偶环覆盖,我们只需要在每个环都隔一条取一条边,就可以得到一个完美匹配。 如果 存在完美匹配,我们只需要将匹配边对应的二元环取出,就可以得到一个偶环覆盖。 然后证明 存在偶环覆盖当且仅当 。
考虑行列式的定义
其中 是任意排列, 表示若 中的逆序对数为奇数,则取 ,否则取 。
不难看出每个排列都可以被看作 的一个环覆盖。如果这个环覆盖中存在奇环,则将这个环翻转后的和一定为 ,因此只有偶环覆盖才能使行列式不为 ,证毕。
定理 : 一定为偶数,并且 的最大匹配的大小等于 的一半。
证明 反对称矩阵的秩只能是偶数;后者请读者自行思考。
实际应用中不可能带着 个变量进行计算,不过可以取一个数域,例如取某个素数 的剩余系 ,将变量分别随机替换为 中的数,再进行计算。方便起见,在无歧义的情况下,以下用 直接指代替换后的矩阵。
定理 : 至多为 的最大匹配大小的两倍,并且二者相等的概率至少为 。
考虑到一般图最大匹配中 基本不会超过 ,实际中 取 数量级的素数就足够了。
由定理可知,如果只需要求最大匹配数,而无需匹配方案,那么只需要用一次高斯消元求出 即可,远比带花树简洁。不过如果需要输出方案,会稍微复杂一些,需要用到下面介绍的算法。
构造完美匹配 由 Tutte 定理和上面的定理可知,如果 存在完美匹配,那么 有很大概率满秩。方便起见,以下叙述中均省略「有很大概率」。
记 中标号为 的点为 ,进一步地我们有如下定理:
定理 : 有完美匹配。
逆矩阵与伴随矩阵 对任意 阶方阵 ,定义其伴随矩阵为 ,其中 为删去第 行第 列的余子式。换言之,设 的代数余子式矩阵为 ,则 。
定理 :如果 可逆,那么 。
所以这里的 ,也就是 删去第 行第 列后的部分满秩。
换言之,如果 ,并且 ,就表明存在一个完美匹配方案包含 这条边。以下将这种边称为 可行边 。
由如上定理,对于一个有完美匹配的无向图 ,我们可以得到一个比较显然的暴力算法来寻找一组完美匹配:每次枚举 ,如果 是一条可行边(连边存在,并且 ),就将 加入匹配方案,并在 中都删掉这两个点,再重新计算新的 。
总共要做 轮,每轮都是 的,总的复杂度是 ,有点慢了。实际上我们在重新计算 时,不必每次都重新用高斯消元求逆矩阵,而是可以利用如下定理:
定理 (消去定理):令
并且 , 那么就有
定理中描述的是消去第一行第一列的情况。实际上,它可以非常显然地推广到消去任意一行一列的情况,因此我们只需在算法最开始计算一次 ,后面每次删除两个点时,只需执行两次 的消去过程即可。
描述有些抽象,可以参考 C++ 代码 1
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14 void eliminate ( int A [][ MAXN ], int r , int c ) { // 消去第 r 行第 c 列
row_marked [ r ] = col_marked [ c ] = true ; // 已经被消掉
int inv = quick_power ( A [ r ][ c ], p - 2 ); // 逆元
for ( int i = 1 ; i <= n ; i ++ )
if ( ! row_marked [ i ] && A [ i ][ c ]) {
int tmp = ( long long ) A [ i ][ c ] * inv % p ;
for ( int j = 1 ; j <= n ; j ++ )
if ( ! col_marked [ j ] && A [ r ][ j ])
A [ i ][ j ] = ( A [ i ][ j ] - ( long long ) tmp * A [ r ][ j ]) % p ;
}
}
总共要做 轮,每轮复杂度为 ,因此上述算法可以在 的时间内找到一组完美匹配。
构造最大匹配 我们刚刚已经解决了构造一组完美匹配的问题,但是求解问题时一般需要最大匹配。
前面已经提到, 的最大匹配大小等于 的一半。如果我们能找到 的一个极大满秩子矩阵,那么对子矩阵对应的导出子图求出一组完美匹配,即可找到 的一组完美匹配。
换一个角度考虑,如果 有完美匹配,那么 满秩,换言之, 是线性无关的。那么如果 不是满秩的,我们可以求出 的一组线性基,然后只保留线性基对应的行列,就可以得到 的一个极大满秩子矩阵。
求出极大满秩子矩阵之后,再用上面的算法找出导出子图的一组完美匹配,即可得到原图的一组最大匹配。注意由于高斯消元中可能会有行的交换,因此实现时要注意维护好点的编号。
UOJ #79. 一般图最大匹配 1
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137 #include <cstring>
#include <iostream>
#include <random>
#include <utility>
using namespace std ;
constexpr int MAXN = 505 , p = ( int ) 1e9 + 7 ;
int qpow ( int a , int b ) {
int ans = 1 ;
while ( b ) {
if ( b & 1 ) ans = ( long long ) ans * a % p ;
a = ( long long ) a * a % p ;
b >>= 1 ;
}
return ans ;
}
int A [ MAXN ][ MAXN ], B [ MAXN ][ MAXN ], t [ MAXN ][ MAXN ], id [ MAXN ];
// 高斯消元 O(n^3)
// 在传入 B 时表示计算逆矩阵, 传入 nullptr 则只需计算矩阵的秩
void Gauss ( int A [][ MAXN ], int B [][ MAXN ], int n ) {
if ( B ) {
memset ( B , 0 , sizeof ( t ));
for ( int i = 1 ; i <= n ; i ++ ) B [ i ][ i ] = 1 ;
}
for ( int i = 1 ; i <= n ; i ++ ) {
if ( ! A [ i ][ i ]) {
for ( int j = i + 1 ; j <= n ; j ++ )
if ( A [ j ][ i ]) {
swap ( id [ i ], id [ j ]);
for ( int k = i ; k <= n ; k ++ ) swap ( A [ i ][ k ], A [ j ][ k ]);
if ( B )
for ( int k = 1 ; k <= n ; k ++ ) swap ( B [ i ][ k ], B [ j ][ k ]);
break ;
}
if ( ! A [ i ][ i ]) continue ;
}
int inv = qpow ( A [ i ][ i ], p - 2 );
for ( int j = 1 ; j <= n ; j ++ )
if ( i != j && A [ j ][ i ]) {
int t = ( long long ) A [ j ][ i ] * inv % p ;
for ( int k = i ; k <= n ; k ++ )
if ( A [ i ][ k ]) A [ j ][ k ] = ( A [ j ][ k ] - ( long long ) t * A [ i ][ k ]) % p ;
if ( B ) {
for ( int k = 1 ; k <= n ; k ++ )
if ( B [ i ][ k ]) B [ j ][ k ] = ( B [ j ][ k ] - ( long long ) t * B [ i ][ k ]) % p ;
}
}
}
if ( B )
for ( int i = 1 ; i <= n ; i ++ ) {
int inv = qpow ( A [ i ][ i ], p - 2 );
for ( int j = 1 ; j <= n ; j ++ )
if ( B [ i ][ j ]) B [ i ][ j ] = ( long long ) B [ i ][ j ] * inv % p ;
}
}
bool row_marked [ MAXN ] = { false }, col_marked [ MAXN ] = { false };
int sub_n ; // 极大满秩子矩阵的大小
// 消去一行一列 O(n^2)
void eliminate ( int r , int c ) {
row_marked [ r ] = col_marked [ c ] = true ; // 已经被消掉
int inv = qpow ( B [ r ][ c ], p - 2 );
for ( int i = 1 ; i <= sub_n ; i ++ )
if ( ! row_marked [ i ] && B [ i ][ c ]) {
int t = ( long long ) B [ i ][ c ] * inv % p ;
for ( int j = 1 ; j <= sub_n ; j ++ )
if ( ! col_marked [ j ] && B [ r ][ j ])
B [ i ][ j ] = ( B [ i ][ j ] - ( long long ) t * B [ r ][ j ]) % p ;
}
}
int vertices [ MAXN ], girl [ MAXN ]; // girl 是匹配点, 用来输出方案
int main () {
cin . tie ( nullptr ) -> sync_with_stdio ( false );
auto rng = mt19937 ( random_device {}());
int n , m ;
cin >> n >> m ; // 点数和边数
while ( m -- ) {
int x , y ;
cin >> x >> y ;
A [ x ][ y ] = rng () % p ;
A [ y ][ x ] = - A [ x ][ y ]; // Tutte 矩阵
}
for ( int i = 1 ; i <= n ; i ++ )
id [ i ] = i ; // 输出方案用的,因为高斯消元的时候会交换列
memcpy ( t , A , sizeof ( t ));
Gauss ( A , nullptr , n );
for ( int i = 1 ; i <= n ; i ++ )
if ( A [ id [ i ]][ id [ i ]]) vertices [ ++ sub_n ] = i ; // 找出一个极大满秩子矩阵
for ( int i = 1 ; i <= sub_n ; i ++ )
for ( int j = 1 ; j <= sub_n ; j ++ ) A [ i ][ j ] = t [ vertices [ i ]][ vertices [ j ]];
Gauss ( A , B , sub_n );
for ( int i = 1 ; i <= sub_n ; i ++ )
if ( ! girl [ vertices [ i ]])
for ( int j = i + 1 ; j <= sub_n ; j ++ )
if ( ! girl [ vertices [ j ]] && t [ vertices [ i ]][ vertices [ j ]] && B [ j ][ i ]) {
// 注意上面那句 if 的写法, 现在 t 是邻接矩阵的备份,
// 逆矩阵 j 行 i 列不为 0 当且仅当这条边可行
girl [ vertices [ i ]] = vertices [ j ];
girl [ vertices [ j ]] = vertices [ i ];
eliminate ( i , j );
eliminate ( j , i );
break ;
}
cout << sub_n / 2 << '\n' ;
for ( int i = 1 ; i <= n ; i ++ ) cout << girl [ i ] << ' ' ;
return 0 ;
}
习题 参考资料 Mucha M, Sankowski P.Maximum matchings via Gaussian elimination 周子鑫,杨家齐《基于线性代数的一般图匹配》 ZYQN 《基于线性代数的一般图匹配算法》 本页面最近更新:2024/11/26 18:05:33 ,更新历史 发现错误?想一起完善? 在 GitHub 上编辑此页! 本页面贡献者:H-J-Granger , Early0v0 , HeliumOI , Henry-ZHR , Ir1d , ShizuhaAki , 310552025atNYCU , accelsao , AntiLeaf , antileaf , CCXXXI , countercurrent-time , Enter-tainer , ksyx , NachtgeistW , SukkaW , Tiphereth-A , Xeonacid 本页面的全部内容在 CC BY-SA 4.0 和 SATA 协议之条款下提供,附加条款亦可能应用