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网络流简介

网络流在 OI 中是显得尤为重要的。在《算法导论》中就用了 35 页来讲述网络流的知识,在这里,给大家介绍网络流中的一些基本知识。

网络流的基本概念

容量:网络中的每条有向边 (x,y)都有一个给定的权值,称为边的容量,记为 c(x,y)

源点、汇点:网络中的两个特殊节点。流量从源点产生,最后全部归于汇点。源点用 S表示,汇点用 T表示。

流量:对于网络中的每条边 (x,y)f(x,y)被称为该边的流量。流量需要满足以下三条性质:

  1. 容量限制:对于每条边,流经该边的流量不得超过该边的容量,即 f(x,y) \leq c(x,y)
  2. 斜对称性:每条边的流量与其相反边的流量之和为 0,即 f(x,y)=-f(y,x)
  3. 流量守恒:从源点流出的流量等于汇点流入的流量。

网络流的常见问题

网络流问题中常见的有以下三种:最大流,最小割,费用流。

最大流

我们有一张图,要求从源点流向汇点的最大流量(可以有很多条路到达汇点),就是我们的最大流问题。

最小费用最大流

最小费用最大流问题是这样的:每条边都有一个费用,代表单位流量流过这条边的开销。我们要在求出最大流的同时,要求花费的费用最小。

最小割

割其实就是删边的意思,当然最小割就是割掉 X条边来让 ST不互通。我们要求 X条边加起来的流量综合最小。这就是最小割问题。

网络流 24 题

https://loj.ac/problems/tag/30


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