动态树分治

动态点分治

动态点分治用来解决 带点权/边权修改 的树上路径信息统计问题。

点分树

回顾点分治的计算过程。

对于一个结点 x 来说,其子树中的简单路径包括两种:经过结点 x 的,由一条或两条从 x 出发的路径组成的;和不经过结点 x 的,即已经包含在其所有儿子结点子树中的路径。

对于一个子树中简单路径的计算,我们选择一个分治中心 rt ,计算经过该节点的子树中路径的信息,然后对于其每个儿子结点,将删去 rt 后该点所在连通块作为一个子树,递归计算。选择的分治中心点可以构成一个树形结构,称为 点分树 。我们发现,计算点分树中同一层的结点所代表的连通块(即以该结点为分治中心的连通块)的大小总和是 O(n) 的。这意味着,点分治的时间复杂度是与点分树的深度相关的,若点分树的深度为 h ,则点分治的复杂度为 O(nh)

可以证明,当我们每次选择连通块的重心作为分治中心的时候,点分树的深度最小,为 O(\log n) 的。这样,我们就可以在 O(n\log n) 的时间复杂度内统计树上 O(n^2) 条路径的信息了。

由于树的形态在动态点分治的过程中不会改变,所以点分树的形态在动态点分治的过程中也不会改变。

下面给出求点分树的参考代码:

void calcsiz(int x, int f) {
  siz[x] = 1;
  maxx[x] = 0;
  for (int j = h[x]; j; j = nxt[j])
    if (p[j] != f && !vis[p[j]]) {
      calcsiz(p[j], x);
      siz[x] += siz[p[j]];
      maxx[x] = max(maxx[x], siz[p[j]]);
    }
  maxx[x] =
      max(maxx[x], sum - siz[x]);  // maxx[x] 表示以 x 为根时的最大子树大小
  if (maxx[x] < maxx[rt])
    rt = x;  //这里不能写 <= ,保证在第二次 calcsiz 时 rt 不改变
}
void pre(int x) {
  vis[x] = true;  //表示在之后的过程中不考虑 x 这个点
  for (int j = h[x]; j; j = nxt[j])
    if (!vis[p[j]]) {
      sum = siz[p[j]];
      rt = 0;
      maxx[rt] = inf;
      calcsiz(p[j], -1);
      calcsiz(rt, -1);  //计算两次,第二次求出以 rt 为根时的各子树大小
      fa[rt] = x;
      pre(rt);  //记录点分树上的父亲
    }
}
int main() {
  sum = n;
  rt = 0;
  maxx[rt] = inf;
  calcsiz(1, -1);
  calcsiz(rt, -1);
  pre(rt);
}

实现修改

在查询和修改的时候,我们在点分树上暴力跳父亲修改。由于点分树的深度最多是 O(\log n) 的,所以这样做复杂度能得到保证。

在动态点分治的过程中,需要一个结点到其点分树上的祖先的距离等其他信息,由于一个点最多有 O(\log n) 个祖先,我们可以在计算点分树时额外计算深度 dep[x] 或使用 LCA,预处理出这些距离或实现实时查询。 注意 :一个结点到其点分树上的祖先的距离不一定递增,不能累加!

在动态点分治的过程中,一个结点在其点分树上的祖先结点的信息中可能会被重复计算,这是我们需要消去重复部分的影响。一般的方法是对于一个连通块用两种方式记录:一个是其到分治中心的距离信息,另一个是其到点分树上分治中心父亲的距离信息。这一部分内容将在例题中得到展现。

例题「ZJOI2007」捉迷藏

给定一棵有 n 个结点的树,初始时所有结点都是黑色的。你需要实现以下两种操作:

  1. 反转一个结点的颜色(白变黑,黑变白);
  2. 询问树上两个最远的黑点的距离。

    n\le 10^5,m\le 5\times 10^5

求出点分树,对于每个结点 x 维护两个 可删堆 dist[x] 存储结点 x 代表的连通块中的所有黑点到 x 的距离信息, ch[x] 表示结点 x 在点分树上的所有儿子和它自己中的黑点到 x 的距离信息,由于本题贪心的求答案方法,且两个来自于同一子树的路径不能成为一条完成的路径,我们只在这个堆中插入其自己的值和其每个子树中的最大值。我们发现, ch[x] 中最大的两个值(如果没有两个就是所有值)的和就是分治时分支中心为 x 时经过结点 x 的最长黑端点路径。我们可以用可删堆 ans 存储所有结点的答案,这个堆中的最大值就是我们所求的答案。

我们可以根据上面的定义维护 dist[x],ch[x],ans 这些可删堆。当 dist[x] 中的值发生变化时,我们也可以在 O(\log n) 的时间复杂度内维护 ch[x],ans

现在我们来看一下,当我们反转一个点的颜色时, dist[x] 值会发生怎样的改变。当结点原来是黑色时,我们要进行的是删除操作;当结点原来是白色时,我们要进行的是插入操作。

假如我们要反转结点 x 的颜色。对于其所有祖先 u ,我们在 dist[u] 中插入或删除 dist(x,u) ,并同时维护 ch[x],ans 的值。特别的,我们要在 ch[x] 中插入或删除值 0

参考代码:

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
using namespace std;
const int maxn = 100010;
const int inf = 2e9;
int n, a, b, m, x, col[maxn];
// 0 off 1 on
char op;
int cur, h[maxn * 2], nxt[maxn * 2], p[maxn * 2];
void add_edge(int x, int y) {
  cur++;
  nxt[cur] = h[x];
  h[x] = cur;
  p[cur] = y;
}
bool vis[maxn];
int rt, sum, siz[maxn], maxx[maxn], fa[maxn], dep[maxn];
void calcsiz(int x, int f) {
  siz[x] = 1;
  maxx[x] = 0;
  for (int j = h[x]; j; j = nxt[j])
    if (p[j] != f && !vis[p[j]]) {
      calcsiz(p[j], x);
      siz[x] += siz[p[j]];
      maxx[x] = max(maxx[x], siz[p[j]]);
    }
  maxx[x] = max(maxx[x], sum - siz[x]);
  if (maxx[x] < maxx[rt]) rt = x;
}
struct heap {
  priority_queue<int> A, B;  // heap=A-B
  void insert(int x) { A.push(x); }
  void erase(int x) { B.push(x); }
  int top() {
    while (!B.empty() && A.top() == B.top()) A.pop(), B.pop();
    return A.top();
  }
  void pop() {
    while (!B.empty() && A.top() == B.top()) A.pop(), B.pop();
    A.pop();
  }
  int top2() {
    int t = top(), ret;
    pop();
    ret = top();
    A.push(t);
    return ret;
  }
  int size() { return A.size() - B.size(); }
} dist[maxn], ch[maxn], ans;
void dfs(int x, int f, int d, heap& y) {
  y.insert(d);
  for (int j = h[x]; j; j = nxt[j])
    if (p[j] != f && !vis[p[j]]) dfs(p[j], x, d + 1, y);
}
void pre(int x) {
  vis[x] = true;
  for (int j = h[x]; j; j = nxt[j])
    if (!vis[p[j]]) {
      rt = 0;
      maxx[rt] = inf;
      sum = siz[p[j]];
      calcsiz(p[j], -1);
      calcsiz(rt, -1);
      fa[rt] = x;
      dfs(p[j], -1, 1, dist[rt]);
      ch[x].insert(dist[rt].top());
      dep[rt] = dep[x] + 1;
      pre(rt);
    }
  ch[x].insert(0);
  if (ch[x].size() >= 2)
    ans.insert(ch[x].top() + ch[x].top2());
  else if (ch[x].size())
    ans.insert(ch[x].top());
}
struct LCA {
  int dep[maxn], lg[maxn], fa[maxn][20];
  void dfs(int x, int f) {
    for (int j = h[x]; j; j = nxt[j])
      if (p[j] != f) dep[p[j]] = dep[x] + 1, fa[p[j]][0] = x, dfs(p[j], x);
  }
  void init() {
    dfs(1, -1);
    for (int i = 2; i <= n; i++) lg[i] = lg[i / 2] + 1;
    for (int j = 1; j <= lg[n]; j++)
      for (int i = 1; i <= n; i++) fa[i][j] = fa[fa[i][j - 1]][j - 1];
  }
  int query(int x, int y) {
    if (dep[x] > dep[y]) swap(x, y);
    int k = dep[y] - dep[x];
    for (int i = 0; k; k = k / 2, i++)
      if (k & 1) y = fa[y][i];
    if (x == y) return x;
    k = dep[x];
    for (int i = lg[k]; i >= 0; i--)
      if (fa[x][i] != fa[y][i]) x = fa[x][i], y = fa[y][i];
    return fa[x][0];
  }
  int dist(int x, int y) { return dep[x] + dep[y] - 2 * dep[query(x, y)]; }
} lca;
int d[maxn][20];
int main() {
  scanf("%d", &n);
  for (int i = 1; i < n; i++)
    scanf("%d%d", &a, &b), add_edge(a, b), add_edge(b, a);
  lca.init();
  rt = 0;
  maxx[rt] = inf;
  sum = n;
  calcsiz(1, -1);
  calcsiz(rt, -1);
  pre(rt);
  // for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d ",fa[i]);printf("\n");
  for (int i = 1; i <= n; i++)
    for (int j = i; j; j = fa[j]) d[i][dep[i] - dep[j]] = lca.dist(i, j);
  scanf("%d", &m);
  while (m--) {
    scanf(" %c", &op);
    if (op == 'G') {
      if (ans.size())
        printf("%d\n", ans.top());
      else
        printf("-1\n");
    } else {
      scanf("%d", &x);
      if (!col[x]) {
        if (ch[x].size() >= 2) ans.erase(ch[x].top() + ch[x].top2());
        ch[x].erase(0);
        if (ch[x].size() >= 2) ans.insert(ch[x].top() + ch[x].top2());
        for (int i = x; fa[i]; i = fa[i]) {
          if (ch[fa[i]].size() >= 2)
            ans.erase(ch[fa[i]].top() + ch[fa[i]].top2());
          ch[fa[i]].erase(dist[i].top());
          dist[i].erase(d[x][dep[x] - dep[fa[i]]]);
          if (dist[i].size()) ch[fa[i]].insert(dist[i].top());
          if (ch[fa[i]].size() >= 2)
            ans.insert(ch[fa[i]].top() + ch[fa[i]].top2());
        }
      } else {
        if (ch[x].size() >= 2) ans.erase(ch[x].top() + ch[x].top2());
        ch[x].insert(0);
        if (ch[x].size() >= 2) ans.insert(ch[x].top() + ch[x].top2());
        for (int i = x; fa[i]; i = fa[i]) {
          if (ch[fa[i]].size() >= 2)
            ans.erase(ch[fa[i]].top() + ch[fa[i]].top2());
          if (dist[i].size()) ch[fa[i]].erase(dist[i].top());
          dist[i].insert(d[x][dep[x] - dep[fa[i]]]);
          ch[fa[i]].insert(dist[i].top());
          if (ch[fa[i]].size() >= 2)
            ans.insert(ch[fa[i]].top() + ch[fa[i]].top2());
        }
      }
      col[x] ^= 1;
    }
  }
  return 0;
}
例题bzoj 3730 震波

给定一棵有 n 个结点的树,树上每个结点都有一个权值 v[x] 。实现以下两种操作:

  1. 询问与结点 x 距离不超过 y 的结点权值和;
  2. 修改结点 x 的点权为 y ,即 v[x]=y

我们用动态开点权值线段树记录距离信息。

类似于上题的思路,对于每个结点,我们维护线段树 dist[x] ,表示分治块 x 中的所有结点到结点 x 的距离信息,下标为距离,权值加上点权。线段树 ch[x] 表示分治块 x 中所有结点到结点 x 在分治树上的父亲结点的距离信息。

在本题中,所有查询和修改都需要在点分树上对所有祖先进行修改。

以查询操作为例,如果我们要查询距离结点 x 不超过 y 的结点的权值和,我们要先将答案加上线段树 dist[x] 中下标从 0 y 的权值和,然后我们遍历 x 的所有祖先 u ,设其低一级祖先为 v ,令 d=dist(x,u) ,如果我们不进入包含 x 的子树,即以 v 为根的子树,那么我们要将答案加上线段树 dist[u] 中下标从 0 y-d 的权值和。由于我们重复计算了以 v 为根的部分,我们要将答案减去线段树 ch[v] 中下标从 0 y-d 的权值和。

在进行修改操作时,我们要同时维护 dist[x] ch[x]

参考代码:

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const int maxn = 100010;
const int inf = 2e9;
const int ddd = 6000010;
struct Segtree {
  int cnt, rt[maxn], sum[ddd], lc[ddd], rc[ddd];
  void update(int& o, int l, int r, int x, int v) {
    if (!o) o = ++cnt;
    if (l == r) {
      sum[o] += v;
      return;
    }
    int mid = (l + r) >> 1;
    if (x <= mid)
      update(lc[o], l, mid, x, v);
    else
      update(rc[o], mid + 1, r, x, v);
    sum[o] = sum[lc[o]] + sum[rc[o]];
  }
  int query(int o, int l, int r, int ql, int qr) {
    if (!o || r < ql || l > qr) return 0;
    if (ql <= l && r <= qr) return sum[o];
    int mid = (l + r) >> 1;
    return query(lc[o], l, mid, ql, qr) + query(rc[o], mid + 1, r, ql, qr);
  }
} dist, ch;
int n, m, val[maxn], u, v, op, x, y, lstans;
int cur, h[maxn * 2], nxt[maxn * 2], p[maxn * 2];
void add_edge(int x, int y) {
  cur++;
  nxt[cur] = h[x];
  h[x] = cur;
  p[cur] = y;
}
struct LCA {
  int dep[maxn], lg[maxn], fa[maxn][20];
  void dfs(int x, int f) {
    for (int j = h[x]; j; j = nxt[j])
      if (p[j] != f) dep[p[j]] = dep[x] + 1, fa[p[j]][0] = x, dfs(p[j], x);
  }
  void init() {
    dep[1] = 1;
    dfs(1, -1);
    for (int i = 2; i <= n; i++) lg[i] = lg[i / 2] + 1;
    for (int j = 1; j <= lg[n]; j++)
      for (int i = 1; i <= n; i++) fa[i][j] = fa[fa[i][j - 1]][j - 1];
  }
  int query(int x, int y) {
    if (dep[x] > dep[y]) swap(x, y);
    int k = dep[y] - dep[x];
    for (int i = 0; k; k = k / 2, i++)
      if (k & 1) y = fa[y][i];
    if (x == y) return x;
    k = dep[x];
    for (int i = lg[k]; i >= 0; i--)
      if (fa[x][i] != fa[y][i]) x = fa[x][i], y = fa[y][i];
    return fa[x][0];
  }
  int dist(int x, int y) { return dep[x] + dep[y] - 2 * dep[query(x, y)]; }
} lca;
int rt, sum, siz[maxn], maxx[maxn], fa[maxn];
int d[maxn][20], dep[maxn];
bool vis[maxn];
void calcsiz(int x, int fa) {
  siz[x] = 1;
  maxx[x] = 0;
  for (int j = h[x]; j; j = nxt[j])
    if (p[j] != fa && !vis[p[j]]) {
      calcsiz(p[j], x);
      siz[x] += siz[p[j]];
      maxx[x] = max(maxx[x], siz[p[j]]);
    }
  maxx[x] = max(maxx[x], sum - siz[x]);
  if (maxx[x] < maxx[rt]) rt = x;
}
void dfs1(int x, int fa, int y, int d) {
  ch.update(ch.rt[y], 0, n, d, val[x]);
  for (int j = h[x]; j; j = nxt[j])
    if (p[j] != fa && !vis[p[j]]) dfs1(p[j], x, y, d + 1);
}
void dfs2(int x, int fa, int y, int d) {
  dist.update(dist.rt[y], 0, n, d, val[x]);
  for (int j = h[x]; j; j = nxt[j])
    if (p[j] != fa && !vis[p[j]]) dfs2(p[j], x, y, d + 1);
}
void pre(int x) {
  vis[x] = true;
  dfs2(x, -1, x, 0);
  for (int j = h[x]; j; j = nxt[j])
    if (!vis[p[j]]) {
      rt = 0;
      maxx[rt] = inf;
      sum = siz[p[j]];
      calcsiz(p[j], -1);
      calcsiz(rt, -1);
      dfs1(p[j], -1, rt, 1);
      fa[rt] = x;
      dep[rt] = dep[x] + 1;
      pre(rt);
    }
}
int main() {
  scanf("%d%d", &n, &m);
  for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", val + i);
  for (int i = 1; i < n; i++)
    scanf("%d%d", &u, &v), add_edge(u, v), add_edge(v, u);
  lca.init();
  rt = 0;
  maxx[rt] = inf;
  sum = n;
  calcsiz(1, -1);
  calcsiz(rt, -1);
  pre(rt);
  // for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d ",fa[i]);printf("\n");
  for (int i = 1; i <= n; i++)
    for (int j = i; j; j = fa[j]) d[i][dep[i] - dep[j]] = lca.dist(i, j);
  while (m--) {
    scanf("%d%d%d", &op, &x, &y);
    x ^= lstans;
    y ^= lstans;
    if (op == 0) {
      lstans = dist.query(dist.rt[x], 0, n, 0, y);
      int nww = 0;
      for (int i = x; fa[i]; i = fa[i]) {
        nww = d[x][dep[x] - dep[fa[i]]];  // lca.dist(x,fa[i]);
        lstans += dist.query(dist.rt[fa[i]], 0, n, 0, y - nww);
        lstans -= ch.query(ch.rt[i], 0, n, 0, y - nww);
      }
      printf("%d\n", lstans);
    }
    if (op == 1) {
      int nww = 0;
      dist.update(dist.rt[x], 0, n, 0, y - val[x]);
      for (int i = x; fa[i]; i = fa[i]) {
        nww = d[x][dep[x] - dep[fa[i]]];  // lca.dist(x,fa[i]);
        dist.update(dist.rt[fa[i]], 0, n, nww, y - val[x]);
        ch.update(ch.rt[i], 0, n, nww, y - val[x]);
      }
      val[x] = y;
    }
  }
  return 0;
}

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