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DFS(图论)

DFS 全称是 Depth First Search ,中文名是深度优先搜索,是一种用于遍历或搜索树或图的算法。所谓深度优先,就是说每次都尝试向更深的节点走。

该算法讲解时常常与 BFS 并列,但两者除了都能遍历图的联通块以外,用途完全不同,很少有能混用两种算法的情况。

DFS 常常用来指代用递归函数实现的搜索,但实际上两者并不一样。有关该类搜索思想请参阅 DFS(搜索) .

DFS 最显著的特征在于其 递归调用自身 。同时与 BFS 类似,DFS 会对其访问过的点打上访问标记,在遍历图时跳过已打过标记的点,以确保 每个点仅访问一次 。符合以上两条规则的函数,便是广义上的 DFS。

具体地说,DFS 大致结构如下:

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DFS(v) // v 可以是图中的一个顶点,也可以是抽象的概念,如 dp 状态等。
  在 v 上打访问标记
  for u in v 的相邻节点
    if u 没有打过访问标记 then
      DFS(i)
    end
  end
end

以上代码只包含了 DFS 必需的主要结构。实际的 DFS 会在以上代码基础上加入一些代码,利用 DFS 性质进行其他操作。

该算法通常的时间复杂度为 O(n+m) ,空间复杂度为 O(n) ,其中 n 表示点数, m 表示边数。注意空间复杂度包含了栈空间,栈空间的空间复杂度是 O(n) 的。在平均 O(1) 遍历一条边的条件下才能达到此时间复杂度,例如用前向星或邻接表存储图;如果用邻接矩阵则不一定能达到此复杂度。

备注:目前大部分算法竞赛(包括 NOIP、大部分省选以及 CCF 举办的各项赛事)都支持 无限栈空间 ,即:栈空间不单独限制,但总内存空间仍然受题面限制。但大部分操作系统会对栈空间做额外的限制,因此在本地调试时需要一些方式来取消栈空间限制。

  • 在 Windows 上,通常的方法是在 编译选项 中加入 -Wl,--stack=1000000000 ,表示将栈空间限制设置为 1000000000 字节。
  • 在 Linux 上,通常的方法是在运行程序前 在终端内 执行 ulimit -s unlimited ,表示栈空间无限。每个终端只需执行一次,对之后每次程序运行都有效。

实现

以链式前向星为例:(和上方伪代码每行一一对应)

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void dfs(int u) {
  vis[u] = 1;
  for (int i = head[u]; i; i = e[i].x) {
    if (!vis[e[i].t]) {
      dfs(v);
    }
  }
}

DFS 序列

DFS 序列是指 DFS 调用过程中访问的节点编号的序列。

我们发现,每个子树都对应 DFS 序列中的连续一段(一段区间)。

括号序列

DFS 进入某个节点的时候记录一个左括号 ( ,退出某个节点的啥时候记录一个右括号 )

每个节点会出现两次。相邻两个节点的深度相差 1。

一般图上 DFS

对于非连通图,只能访问到起点所在的连通分量。

对于连通图,DFS 序列通常不唯一。

注:树的 DFS 序列也是不唯一的。

在 DFS 过程中,通过记录每个节点从哪个点访问而来,可以建立一个树结构,称为 DFS 树。DFS 树是原图的一个生成树。

DFS 树有很多 性质 ,比如用来求 强连通分量


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