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可持久化可并堆

可持久化可并堆一般用于求解 k 短路问题。

如果一种可并堆的时间复杂度不是均摊的,那么它就可以可持久化。

可持久化左偏树

在学习本内容前,请先了解 左偏树 的相关内容。

回顾左偏树的合并过程,假设我们要合并分别以 x,y 为根节点的两棵左偏树,且维护的左偏树满足小根堆的性质:

  1. 如果 x,y 中有结点为空,返回 x+y

  2. 选择 x,y 两结点中权值更小的结点,作为合并后左偏树的根。

  3. 递归合并 x 的右子树与 y ,将合并后的根节点作为 x 的右儿子。

  4. 维护当前合并后左偏树的左偏性质,维护 dist 值,返回选择的根节点。

由于每次递归都会使 dist[x]+dist[y] 减少一,而 dist[x] O(\log n) 的,一次最多只会修改 O(\log n) 个结点,所以这样做的时间复杂度是 O(\log n) 的。

可持久化要求保留历史信息,使得之后能够访问之前的版本。要将左偏树可持久化,就要将其沿途修改的路径复制一遍。

所以可持久化左偏树的合并过程是这样的:

  1. 如果 x,y 中有结点为空,返回 x+y

  2. 选择 x,y 两结点中权值更小的结点,新建该结点的一个复制 p ,作为合并后左偏树的根。

  3. 递归合并 p 的右子树与 y ,将合并后的根节点作为 p 的右儿子。

  4. 维护以 p 为根的左偏树的左偏性质,维护其 dist 值,返回 p

由于左偏树一次最多只会修改并新建 O(\log n) 个结点,设操作次数为 m ,则可持久化左偏树的时间复杂度和空间复杂度均为 O(m\log n)

参考实现

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int merge(int x, int y) {
  if (!x || !y) return x + y;
  if (v[x] > v[y]) swap(x, y);
  int p = ++cnt;
  lc[p] = lc[x];
  v[p] = v[x];
  rc[p] = merge(rc[x], y);
  if (dist[lc[p]] < dist[rc[p]]) swap(lc[p], rc[p]);
  dist[p] = dist[rc[p]] + 1;
  return p;
}

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