可持久化平衡树
可持久化无旋转 Treap
前置知识
OI 常用的可持久化平衡树 一般就是 可持久化无旋转 Treap 所以推荐首先学习 无旋转 Treap。
思想/做法
对于非旋转 Treap,可通过 Merge 和 Split 操作过程中复制路径上经过的节点(一般在 Split 操作中复制,确保不影响以前的版本)就可完成可持久化。
对于旋转 Treap,在复制路径上经过的节点同时,还需复制受旋转影响的节点(若其已为这次操作中复制的节点,则无需再复制),对于一次旋转一般只影响两个节点,那么不会增加其时间复杂度。
上述方法一般被称为 path copying。
「一切可支持操作都可以通过 Merge Split Newnode Build 完成」,而 Build 操作只用于建造无需理会,Newnode(新建节点)就是用来可持久化的工具。
我们来观察一下 Merge 和 Split,我们会发现它们都是由上而下的操作!
因此我们完全可以 参考线段树的可持久化操作 对它进行可持久化。
可持久化操作
可持久化 是对 数据结构 的一种操作,即保留历史信息,使得在后面可以调用之前的历史版本。
对于 可持久化线段树 来说,每一次新建历史版本就是把 沿途的修改路径 复制出来
那么对可持久化 Treap(目前国内 OI 常用的版本)来说:
在复制一个节点
- 如果某个儿子节点
不用修改信息,那么就把 的指针直接指向 ( 节点的第 个版本)即可。 - 反之,如果要修改
,那么就在 递归到下层 时 新建 ( 节点的第 个版本)这个新节点用于 存储新的信息,同时把 的指针指向 ( 节点的第 个版本)。
可持久化
需要的东西:
一个
struct
数组 存 每个节点 的信息(一般叫做tree
数组);(当然写 指针版 平衡树的大佬就可以考虑不用这个数组了)一个 根节点数组,存每个版本的树根,每次查询版本信息时就从 根数组存的节点 开始;
split()
分裂 从树中分裂出两棵树merge()
合并 把两棵树按照随机权值合并newNode()
新建一个节点build()
建树
Split
对于 分裂操作,每次分裂路径时 新建节点 指向分出来的路径,用 std::pair
存新分裂出来的两棵树的根。
split(x,k)
返回一个 std::pair
;
表示把
- 如果
的 左子树 的 ,那么 直接递归进左子树,把左子树分出来的第二颗树和当前的 右子树 合并。 - 否则递归 右子树。
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Merge
merge(x,y)
返回 merge 出的树的根。
同样递归实现。如果 x 的随机权值>y 的随机权值,则 merge(x_{rc},y)
,否则 merge(x,y_{lc})
。
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可持久化 WBLT
前置知识
可持久化 WBLT 由 WBLT 改动而来,所以首先学习 WBLT。
思想/做法
使用 路径复制 的方法,将一次操作中 修改过 的节点复制下来,不能影响之前的节点。
处理懒标记
为了处理懒标记,我们这样考虑:在一棵持久化的 WBLT 上,一个点可能有多个父亲,但是儿子数量只能是
实现路径复制
在进行路径复制的时候,我们可以定义一个 refresh 函数,它接受一个节点
对于静态的查询,除了 pushdown 之外都不用 refresh。如果保证什么操作都做路径复制,那么 pushdown 和 refresh 的顺序是无所谓的。
针对持久化 WBLT 的小优化
这里有一个优化。观察到 pushdown 的时候要复制两个节点,可以写标记永久化,但是刚才说了,如果它的儿子只有它一个父亲,可以不用复制。针对这一个性质,可以进行优化,以减少复制多余的节点。
考虑记录每个节点有多少个父亲(认为每个版本的根都有一个父亲),记为
代码实现
完整代码(可持久化文艺平衡树)
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例题
洛谷 P3835【模版】可持久化平衡树
你需要实现一个数据结构,要求提供如下操作(最开始时数据结构内无数据):
- 插入
数; - 删除
数(若有多个相同的数,应只删除一个,如果没有请忽略该操作); - 查询
数的排名(排名定义为比当前数小的数的个数 + 1); - 查询排名为
的数; - 求
的前驱(前驱定义为小于 ,且最大的数,如不存在输出 ); - 求
的后继(后继定义为大于 ,且最小的数,如不存在输出 )。
以上操作均基于某一个历史版本,同时生成一个新的版本(操作 3, 4, 5, 6 即保持原版本无变化)。而每个版本的编号则为操作的序号。特别地,最初的版本编号为 0。
就是 普通平衡树 一题的可持久化版,操作和该题类似。
只是使用了可持久化的 merge 和 split 操作。
推荐的练手题
本页面最近更新:2024/4/21 20:41:05,更新历史
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