可持久化平衡树

Split-Merge Treap


对于无旋 Treap 的提示

看楼上的 Treap 词条

OI 常用的可持久化平衡树 一般就是 可持久化无旋转 Treap 所以推荐首先学习楼上的 无旋转 Treap

思想/做法

对于非旋转 Treap,可通过 MergeSplit 操作过程中复制路径上经过的节点(一般在 Split 操作中复制,确保不影响以前的版本)就可完成可持久化。

对于旋转 Treap,在复制路径上经过的节点同时,还需复制受旋转影响的节点(若其已为这次操作中复制的节点,则无需再复制),对于一次旋转一般只影响两个节点,那么不会增加其时间复杂度。

上述方法一般被称为 path copying。

「一切可支持操作都可以通过 Merge Split Newnode Build 完成」,而 Build 操作只用于建造无需理会,Newnode(新建节点)就是用来可持久化的工具。

我们来观察一下 MergeSplit,我们会发现它们都是由上而下的操作!

因此我们完全可以 参考线段树的可持久化操作 对它进行可持久化。

可持久化操作

可持久化 是对 数据结构 的一种操作,即保留历史信息,使得在后面可以调用之前的历史版本。

对于 可持久化线段树 来说,每一次新建历史版本就是把 沿途的修改路径 复制出来

那么对可持久化 Treap(目前国内 OI 常用的版本)来说:

在复制一个节点 X_{a} ( X 节点的第 a 个版本)的新版本 X_{a+1} ( X 节点的第 a+1 个版本)以后:

  • 如果某个儿子节点 Y 不用修改信息,那么就把 X_{a+1} 的指针直接指向 Y_{a} ( Y 节点的第 a 个版本)即可。
  • 反之,如果要修改 Y ,那么就在 递归到下层新建 Y_{a+1} ( Y 节点的第 a+1 个版本)这个新节点用于 存储新的信息,同时把 X_{a+1} 的指针指向 Y_{a+1} ( Y 节点的第 a+1 个版本)。

可持久化

需要的东西:

  • 一个 struct 数组 存 每个节点 的信息(一般叫做 tree 数组);(当然写 指针版 平衡树的大佬就可以考虑不用这个数组了)

  • 一个 根节点数组,存每个版本的树根,每次查询版本信息时就从 根数组存的节点 开始;

  • split() 分裂 从树中分裂出两棵树

  • merge() 合并 把两棵树按照随机权值合并

  • newNode() 新建一个节点

  • build() 建树

Split

对于 分裂操作,每次分裂路径时 新建节点 指向分出来的路径,用 std::pair 存新分裂出来的两棵树的根。

split(x,k) 返回一个 std::pair;

表示把 _x 为根的树的前 k 个元素放在 一棵树 中,剩下的节点构成在另一棵树中,返回这两棵树的根(first 是第一棵树的根,second 是第二棵树的)。

  • 如果 x 左子树 key ≥ k ,那么 直接递归进左子树,把左子树分出来的第二颗树和当前的 x 右子树 合并。
  • 否则递归 右子树
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static std::pair<int, int> _split(int _x, int k) {
  if (_x == 0)
    return std::make_pair(0, 0);
  else {
    int _vs = ++_cnt;  // 新建节点(可持久化的精髓)
    _trp[_vs] = _trp[_x];
    std::pair<int, int> _y;
    if (_trp[_vs].key <= k) {
      _y = _split(_trp[_vs].leaf[1], k);
      _trp[_vs].leaf[1] = _y.first;
      _y.first = _vs;
    } else {
      _y = _split(_trp[_vs].leaf[0], k);
      _trp[_vs].leaf[0] = _y.second;
      _y.second = _vs;
    }
    _trp[_vs]._update();
    return _y;
  }
}

Merge

int merge(x,y) 返回 merge 出的树的根。

同样递归实现。如果 x 的随机权值>y 的随机权值,则 merge(x_{rc},y) ,否则 merge(x,y_{lc})

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static int _merge(int _x, int _y) {
  if (_x == 0 || _y == 0)
    return _x ^ _y;
  else {
    if (_trp[_x].fix < _trp[_y].fix) {
      _trp[_x].leaf[1] = _merge(_trp[_x].leaf[1], _y);
      _trp[_x]._update();
      return _x;
    } else {
      _trp[_y].leaf[0] = _merge(_x, _trp[_y].leaf[0]);
      _trp[_y]._update();
      return _y;
    }
  }
}

Luogu P3835 可持久化平衡树

题目背景

本题为题目 普通平衡树 的可持久化加强版。

数据已经经过强化

题目描述

您需要写一种数据结构(可参考题目标题),来维护一些数,其中需要提供以下操作(对于各个以往的历史版本):

  1. 插入 x 数

  2. 删除 x 数(若有多个相同的数,因只删除一个,如果没有请忽略该操作)

  3. 查询 x 数的排名(排名定义为比当前数小的数的个数 + 1。若有多个相同的数,因输出最小的排名)

  4. 查询排名为 x 的数

  5. 求 x 的前驱(前驱定义为小于 x,且最大的数,如不存在输出 -2147483647)

  6. 求 x 的后继(后继定义为大于 x,且最小的数,如不存在输出 2147483647)

和原本平衡树不同的一点是,每一次的任何操作都是基于某一个历史版本,同时生成一个新的版本(操作 3, 4, 5, 6 即保持原版本无变化)。

每个版本的编号即为操作的序号(版本 0 即为初始状态,空树)

输入格式

第一行为 n,表示操作的个数,下面 n 行每行有两个数 opt 和 x,opt 表示操作的序号 (1 \leq x \leq le6)

输出格式

对于操作 3,4,5,6 每行输出一个数,表示对应答案。

题解简述

就是 普通平衡树 一题的可持久化版,操作和该题类似……

只是使用了可持久化的 merge 和 split 操作

推荐的练手题

  1. 「Luogu P3919」可持久化数组(模板题)

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