珂朵莉树

名称简介

老司机树,ODT(Old Driver Tree),又名珂朵莉树(Chtholly Tree)。起源自 CF896C

前置知识

会用 STL 的 set 就行。

核心思想

把值相同的区间合并成一个结点保存在 set 里面。

用处

骗分。只要是有区间赋值操作的数据结构题都可以用来骗分。在数据随机的情况下一般效率较高,但在不保证数据随机的场合下,会被精心构造的特殊数据卡到超时。

如果要保证复杂度正确,必须保证数据随机。详见 Codeforces 上关于珂朵莉树的复杂度的证明

更详细的严格证明见 珂朵莉树的复杂度分析 。对于 add,assign 和 sum 操作,用 set 实现的珂朵莉树的复杂度为 O(n \log \log n) ,而用链表实现的复杂度为 O(n \log n)

正文

首先,结点的保存方式:

struct Node_t {
  int l, r;
  mutable int v;
  Node_t(const int &il, const int &ir, const int &iv) : l(il), r(ir), v(iv) {}
  inline bool operator<(const Node_t &o) const { return l < o.l; }
};

其中, int v 是你自己指定的附加数据。

mutable 关键字的含义是什么?

mutable 的意思是“可变的”,让我们可以在后面的操作中修改 v 的值。在 C++ 中,mutable 是为了突破 const 的限制而设置的。被 mutable 修饰的变量(mutable 只能用于修饰类中的非静态数据成员),将永远处于可变的状态,即使在一个 const 函数中。

这意味着,我们可以直接修改已经插入 set 的元素的 v 值,而不用将该元素取出后重新加入 set

然后,我们定义一个 set<Node_t> odt; 来维护这些结点。为简化代码,可以 typedef set<Node_t>::iterator iter ,当然在题目支持 C++11 时也可以使用 auto

split

split 是最核心的操作之一,它用于将原本包含点 x 的区间(设为 [l, r] )分裂为两个区间 [l, x) [x, r] 并返回指向后者的迭代器。 参考代码如下:

auto split(int x) {
  if (x > n) return odt.end();
  auto it = --odt.upper_bound((Node_t){x, 0, 0});
  if (it->l == x) return it;
  int l = it->l, r = it->r, v = it->v;
  odt.erase(it);
  odt.insert(Node_t(l, x - 1, v));
  return odt.insert(Node_t(x, r, v)).first;
}

这个玩意有什么用呢? 任何对于 [l,r] 的区间操作,都可以转换成 set 上 [split(l),split(r + 1)) 的操作。

assign

另外一个重要的操作 assign 用于对一段区间进行赋值。 对于 ODT 来说,区间操作只有这个比较特殊,也是保证复杂度的关键。 如果 ODT 里全是长度为 1 的区间,就成了暴力,但是有了 assign ,可以使 ODT 的大小下降。 参考代码如下:

void assign(int l, int r, int v) {
  auto itr = split(r + 1), itl = split(l);
  odt.erase(itl, itr);
  odt.insert(Node_t(l, r, v));
}

其他操作

套模板就好了,参考代码如下:

void performance(int l, int r) {
  auto itr = split(r + 1), itl = split(l);
  for (; itl != itr; ++itl) {
    // Perform Operations here
  }
}

注: 珂朵莉树在进行求取区间左右端点操作时,必须先 split 右端点,再 split 左端点 。若先 split 左端点,返回的迭代器可能在 split 右端点的时候失效,可能会导致 RE。

习题


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