李超线段树

引入

洛谷 4097 [HEOI2013]Segment

要求在平面直角坐标系下维护两个操作(强制在线):

  1. 在平面上加入一条线段。记第 i 条被插入的线段的标号为 i ,该线段的两个端点分别为 (x_0,y_0) (x_1,y_1)
  2. 给定一个数 k ,询问与直线 x = k 相交的线段中,交点纵坐标最大的线段的编号(若有多条线段与查询直线的交点纵坐标都是最大的,则输出编号最小的线段)。特别地,若不存在线段与给定直线相交,输出 0

数据满足:操作总数 1 \leq n \leq 10^5 1 \leq k, x_0, x_1 \leq 39989 1 \leq y_0, y_1 \leq 10^9

我们发现,传统的线段树无法很好地维护这样的信息。这种情况下, 李超线段树 便应运而生。

概述

我们设法维护每个区间中,可能成为最优解的线段。

称一条线段在 x=x_0 处最优,当且仅当该线段在 x_0 处取值最大。

称一条线段能成为区间 [l,r] 中的 最优线段 ,当且仅当:

  1. 该线段的定义域完整覆盖了区间 [l,r]
  2. 该线段在区间中点处最优。

现在我们需要插入一条线段,在这条线段完整覆盖的区间中,某些区间的最优线段可能发生改变。

考虑某个被新线段完整覆盖的区间,若该区间无最优线段,则该线段可以直接成为最优线段。

否则,设该区间的中点为 mid ,我们拿新线段在中点处的值与原最优线段在中点处的值作比较。

首先,如果新线段斜率大于原线段,

  1. 如果新线段在 mid 处更优,则新线段在右半区间 一定 最优,旧线段在左半区间 可能 最优;
  2. 反之,旧线段在左半区间 一定 最优,新线段在右半区间 可能 最优。

结合图片理解一下(红色线段代表原来的最优线段,黑色线段代表新插入的线段,绿色直线则代表 x=mid 这条直线):

接下来考虑新线段斜率小于原线段的情况,

  1. 如果新线段在 mid 处更优,则新线段在左半区间 一定 最优,旧线段在右半区间 可能 最优;
  2. 反之,旧线段在右半区间 一定 最优,新线段在左半区间 可能 最优。

再来两张图:

最后考虑新线段和旧线段斜率相同的情况,此时只需比较截距即可,截距大的一定在整个区间内更优。

确定完当前区间的最优线段后,我们需要递归进入子区间,更新最优线段可能改变的区间。

这样的过程与一般线段树的递归过程类似,因此我们可以使用线段树来维护。

现在考虑如何查询一个区间的最优线段。

查询过程利用了标记永久化的思想,简单地说,我们将所有包含 x_0 区间(易知这样的区间只有 O(\log n) 个)的最优线段拿出来,在这些线段中比较,从而得出最优线段。

根据上面的描述,查询过程的时间复杂度显然为 O(\log n) ,而插入过程中,我们需要将原线段分割到 O(\log n) 个区间中,对于每个区间,我们又需要花费 O(\log n) 的时间更新该区间以及其子区间的最优线段,从而插入过程的时间复杂度为 O(\log^2 n)

[HEOI2013]Segment 参考代码
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#include <iostream>
#include <string>
#define MOD1 39989
#define MOD2 1000000000
#define MAXT 40000
using namespace std;
typedef pair<double, int> pdi;
struct line {
  double k, b;
} p[100005];
int s[160005];
int cnt;
double calc(int id, int d) { return p[id].b + p[id].k * d; }
void add(int x0, int y0, int x1, int y1) {
  cnt++;
  if (x0 == x1)  // 特判直线斜率不存在的情况
    p[cnt].k = 0, p[cnt].b = max(y0, y1);
  else
    p[cnt].k = 1.0 * (y1 - y0) / (x1 - x0), p[cnt].b = y0 - p[cnt].k * x0;
}
void update(int root, int cl, int cr, int l, int r, int u) {
  int v = s[root], mid = (cl + cr) >> 1;
  int ls = root << 1, rs = root << 1 | 1;
  double resu = calc(u, mid), resv = calc(v, mid);
  if (r < cl || cr < l) return;
  if (l <= cl && cr <= r) {
    if (cl == cr) {
      if (resu > resv) s[root] = u;
      return;
    }
    if (p[v].k < p[u].k) {
      if (resu > resv) {
        s[root] = u;
        update(ls, cl, mid, l, r, v);
      } else
        update(rs, mid + 1, cr, l, r, u);
    } else if (p[v].k > p[u].k) {
      if (resu > resv) {
        s[root] = u;
        update(rs, mid + 1, cr, l, r, v);
      } else
        update(ls, cl, mid, l, r, u);
    } else {
      if (p[u].b > p[v].b) s[root] = u;
    }
    return;
  }
  update(ls, cl, mid, l, r, u);
  update(rs, mid + 1, cr, l, r, u);
}
pdi pmax(pdi x, pdi y) {
  if (x.first < y.first)
    return y;
  else if (x.first > y.first)
    return x;
  else
    return x.second < y.second ? x : y;
}
pdi query(int root, int l, int r, int d) {
  if (r < d || d < l) return {0, 0};
  int mid = (l + r) >> 1;
  double res = calc(s[root], d);
  if (l == r) return {res, s[root]};
  return pmax({res, s[root]}, pmax(query(root << 1, l, mid, d),
                                   query(root << 1 | 1, mid + 1, r, d)));
}
int main() {
  ios::sync_with_stdio(false);
  int n, lastans = 0;
  cin >> n;
  while (n--) {
    int op;
    cin >> op;
    if (op == 1) {
      int x0, y0, x1, y1;
      cin >> x0 >> y0 >> x1 >> y1;
      x0 = (x0 + lastans - 1 + MOD1) % MOD1 + 1,
      x1 = (x1 + lastans - 1 + MOD1) % MOD1 + 1;
      y0 = (y0 + lastans - 1 + MOD2) % MOD2 + 1,
      y1 = (y1 + lastans - 1 + MOD2) % MOD2 + 1;
      if (x0 > x1) swap(x0, x1), swap(y0, y1);
      add(x0, y0, x1, y1);
      update(1, 1, MOD1, x0, x1, cnt);
    } else {
      int x;
      cin >> x;
      x = (x + lastans - 1 + MOD1) % MOD1 + 1;
      cout << (lastans = query(1, 1, MOD1, x).second) << endl;
    }
  }
  return 0;
}

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