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堆是一种数据结构,维护一个数的集合(或者,一个支持比较的元素的集合)。

主要功能有:insert, getmin, deletemin, decreasekey。

注意:简单起见,我们这里讨论的都是维护最小值的堆,也叫小根堆,与之相对的叫做大根堆。

一些功能强大的堆还能(高效地)支持 merge 等操作。

一些功能更强大的堆还支持可持久化,也就是对任意历史版本进行查询或者操作,产生新的版本。

堆的分类

一个有趣的事实是,这些堆都是用基于树的数据结构实现的。

在 NOIP 中,我们只要求一个能支持主要操作的堆就行,也就是二叉堆。

  • 二叉堆 (binary heap)

最基础的堆,不支持 merge 和可持久化,所有操作的复杂度都是 O(\log n) 的。

  • 二项堆 (binomial heap)

支持 merge 的堆,(也能可持久化),所有操作的复杂度都是 O(\log n)

  • Fib 堆 (Fibonacci heap)

除了不能可持久化,支持全部功能,而且除了 deletemin 以外都是均摊 O(1) 的。

二叉堆

结构

从二叉堆的结构说起,它是一棵二叉树,并且是完全二叉树,每个结点中存有一个元素(或者说,有个权值)。

堆性质:父亲的权值不大于儿子的权值 (小根堆)。

由堆性质,树根存的是最小值 (getmin 操作就解决了)。

插入操作

首先,要保证插入后也是一棵完全二叉树。

最简单的方法就是,最下一层最右边的叶子之后插入。

如果最下一层已满,就新增一层。

插入之后可能会不满足堆性质?

向上调整:如果这个结点的权值大于它父亲的权值,就交换,重复此过程直到不满足或者到根。

可以证明,插入之后向上调整后,没有其他结点会不满足堆性质。

向上调整的时间复杂度是 O(\log n) 的。

删除操作

删除根结点。

如果直接删除,则变成了两个堆,难以处理。

所以不妨考虑插入操作的逆过程,设法将根结点移到最后一个结点,然后直接删掉。

然而实际上不好做,我们通常采用的方法是,把根结点和最后一个结点直接交换。

于是直接删掉(在最后一个结点处的)根结点,但是新的根结点可能不满足堆性质……

向下调整:在该结点的所有儿子中,找一个最小的,与该结点交换,重复此过程直到底层。

可以证明,删除并向下调整后,没有其他结点不满足堆性质。

时间复杂度 O(\log n)

减小某个点的权值

很显然,直接修改后,向上调整一次即可,时间复杂度为 O(\log n)

实现

我们发现,上面介绍的几种操作主要依赖于两个核心:向上调整和向下调整。

(伪代码)

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up(x) {
  while (x > 1 && h[x] > h[x / 2]) {
    swap(h[x], h[x / 2]);
    x /= 2;
  }
}
down(x) {
  while (x * 2 <= n) {
    t = x * 2;
    if (t + 1 <= n && h[t + 1] < h[t]) t++;
    if (h[t] >= h[x]) break;
    swap(h[x], h[t]);
    x = t;
  }
}

建堆

考虑这么一个问题,从一个空的堆开始,插入 n 个元素,不在乎顺序。

直接一个一个插入需要 O(n \log n) 的时间,有没有更好的方法?

方法一:使用 decreasekey(即,向上调整)

从根开始,按 BFS 序进行.

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build_heap_1() {
    for (i = 1; i <= n; i++) up(i);
}

为啥这么做:对于第 k 层的结点,向上调整的复杂度为 O(k) 而不是 O(\log n)

总复杂度: \log 1 + \log 2 + \cdots + \log n = \Theta(n \log n)

(在「基于比较的排序」中证明过)

方法二:使用向下调整

这时换一种思路,从叶子开始,逐个向下调整

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build_heap_2() {
    for (i = n; i >= 1; i--) down(i);
}

换一种理解方法,每次「合并」两个已经调整好的堆,这说明了正确性。

注意到向下调整的复杂度,为 O(\log n - k)

\begin{aligned} 总复杂度 & = n \log n - \log 1 - \log 2 - \cdots - \log n \\\\ & \leq n \log n - 0 \times 2^0 - 1 \times 2^1 -\cdots - (\log n - 1) \times \frac{n}{2} \\\\ & = n \log n - (n-1) - (n-2) - (n-4) - \cdots - (n-\frac{n}{2}) \\\\ & = n \log n - n \log n + 1 + 2 + 4 + \cdots + \frac{n}{2} \\\\ & = n - 1 \\\\ & = O(n) \end{aligned}

之所以能 O(n) 建堆,是因为堆性质很弱,二叉堆并不是唯一的。

要是像排序那样的强条件就难说了。


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