哈希表

哈希表

哈希表是又称散列表,一种以 "key-value" 形式存储数据的数据结构。所谓以 "key-value" 形式存储数据,是指任意的 key 都唯一对应到内存中的某个位置。只需要输入查找的值 key,就可以快速地找到其对应的 value。可以把哈希表理解为一种高级的数组,这种数组的下标可以是很大的整数,浮点数,字符串甚至结构体。

哈希函数

要让 key 对应到内存中的位置,就要为 key 计算索引,也就是计算这个数据应该放到哪里。这个根据 key 计算索引的函数就叫做哈希函数,也称散列函数。举个例子,比如 key 是一个人的身份证号码,哈希函数就可以是号码的后四位,当然也可以是号码的前四位。生活中常用的“手机尾号”也是一种哈希函数。在实际的应用中,key 可能是更复杂的东西,比如浮点数、字符串、结构体等,这时候就要根据具体情况设计合适的哈希函数。哈希函数应当易于计算,并且尽量使计算出来的索引均匀分布。

在 OI 中,最常见的情况应该是 key 为整数的情况。当 key 的范围比较小的时候,可以直接把 key 作为数组的下标,但当 key 的范围比较大,比如以 10^9 范围内的整数作为 key 的时候,就需要用到哈希表。一般把 key 模一个较大的质数作为索引,也就是取 f(x)=x \bmod M 作为哈希函数。另一种比较常见的情况是 key 为字符串的情况,在 OI 中,一般不直接把字符串作为 key,而是先算出字符串的哈希值,再把其哈希值作为 key 插入到哈希表里。

能为 key 计算索引之后,我们就可以知道每个 value 应该放在哪里了。假设我们用数组 a 存放数据,哈希函数是 f,那键值对 (key,value) 就应该放在 a[f(key)]上。不论 key 是什么类型,范围有多大,f(key) 都是在可接受范围内的整数,可以作为数组的下标。

冲突

如果对于任意的 key,哈希函数计算出来的索引都不相同,那只用根据索引把 (key,value) 放到对应的位置就行了。但实际上,常常会出现两个不同的 key,他们用哈希函数计算出来的索引是相同的。这时候就需要一些方法来处理冲突。在 OI 中,最常用的方法是拉链法。

拉链法

拉链发也称开散列法(open hashing)。

拉链法是在每个存放数据的地方开一个链表,如果有多个 key 索引到同一个地方,只用把他们都放到那个位置的链表里就行了。查询的时候需要把对应位置的链表整个扫一遍,对其中的每个数据比较其 key 与查询的 key 是否一致。如果索引的范围是 1~M,哈希表的大小为 N,那么一次插入/查询需要进行期望 O(\frac{N}{M}) 次比较。

闭散列法

闭散列方法吧所有记录直接存储在散列表中,如果发生冲突则根据某种方式继续进行探查。

比如线性探查法:如果在 d 处发生冲突,就依次检查 d + 1d+2 ……

实现

拉链法

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const int SIZE = 1000000;
const int M = 999997;
struct HashTable {
  struct Node {
    int next, value, key;
  } data[SIZE];
  int head[M], size;
  int f(int key) { return key % M; }
  int get(int key) {
    for (int p = head[f(key)]; p; p = data[p].next)
      if (data[p].key == key) return data[p].value;
    return -1;
  }
  int modify(int key, int value) {
    for (int p = head[f(key)]; p; p = data[p].next)
      if (data[p].key == key) return data[p].value = value;
  }
  int add(int key, int value) {
    if (get(key) != -1) return -1;
    data[++size] = (Node){head[f(key)], value, key};
    head[f(key)] = size;
    return value;
  }
};

这边再为大家提供一个封装过的模板,可以像 map 一样用,并且较短

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struct hash_map {  // 哈希表模板
  struct data {
    long long u;
    int v, nex;
  };                // 前向星结构
  data e[SZ << 1];  // SZ 是 const int 表示大小
  int h[SZ], cnt;
  int hash(long long u) { return u % SZ; }
  int& operator[](long long u) {
    int hu = hash(u);  // 获取头指针
    for (int i = h[hu]; i; i = e[i].nex)
      if (e[i].u == u) return e[i].v;
    return e[++cnt] = (data){u, -1, h[hu]}, h[hu] = cnt, e[cnt].v;
  }
  hash_map() {
    cnt = 0;
    memset(h, 0, sizeof(h));
  }
};

解释一下,hash 函数是针对 key 的类型设计的,并且返回一个链表头指针用于查询。在这个模板中我们写了一个 \text{(long long , int)} 式的 hash 表,并且当某个 key 不存在的时侯初始化对应的 val 成 -1。hash_map() 函数是在定义的时侯初始化用的。

例题

「JLOI2011」不重复数字


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