手指树

注意

此章是选读内容,在阅读前请确定你对函数式编程(Functional Programming)有一定了解。

简介

手指树(Finger Tree)是一种 纯函数式 数据结构,由 Ralf Hinze 和 Ross Paterson 提出。

为什么需要手指树

在函数式编程中,列表是十分常见的数据类型。对于基于序列的操作,包括在两端添加和删除元素(双端队列操作),在任意节点插入、连接、删除,查找某个满足要求的元素,将序列拆分为子序列,几乎所有的函数型语言都支持。但是对于高效的更多操作,这些语言很难做到。即使有相对应的实现,通常也都非常复杂,实际很难使用。

而指状树提供了一种纯函数式的序列数据结构,它可以在均摊常量时间(amortized constant time)内完成访问,添加到序列的前端和末尾等操作,以及在对数时间(logarithmic time)内完成串联和随机访问。除了良好的渐近运行时边界外,手指树还非常灵活:当与元素上的幺半群标记(monoidal tag)结合时,指状树可用于实现高效的随机访问序列、有序序列、间隔树和优先级队列。

基本结构

手指树在树的“手指”(叶子)的地方存储数据,访问时间为分摊常量。手指是一个可以访问部分数据结构的点。在命令式语言(imperative language)中,这被称做指针。在手指树中,“手指”是指向序列末端或叶节点的结构。手指树还在每个内部节点中存储对其后代应用一些关联操作的结果。存储在内部节点中的数据可用于提供除树类数据结构之外的功能。

  1. 手指树的深度由下到上计算。
  2. 手指树的第一级,即树的叶节点,仅包含值,深度为 0 。第二级为深度 1 。第三级为深度 2 ,依此类推。
  3. 离根越近,节点指向的原始树(在它是手指树之前的树)的子树越深。这样,沿着树向下工作就是从叶子到树的根,这与典型的树数据结构相反。为了获得这种的结构,我们必须确保原始树具有统一的深度。在声明节点对象时,必须通过子节点的类型进行参数化。深度为 1 及以上的脊椎上的节点指向树,通过这种参数化,它们可以由嵌套节点表示。

将一棵树变成手指树

注释

2-3 树 是一种树状数据结构,其中每个带有子节点(内部节点)的节点具有两个子节点( 2 节点)和一个数据元素或三个子节点( 3 节点)和两个数据元素。2-3 树是 3 阶 B 树。树外部的节点(叶节点)没有子节点和一两个数据元素。

我们将从平衡 2-3 树开始这个过程。为了使手指树正常工作,所有的叶节点需要是水平的。如下图所示(图片取自手指树论文):

手指是“一种结构,可以有效地访问靠近特定位置的树的节点。”要制作手指树,我们需要将手指放在树的左右两端,取树的最左边和最右边的内部节点并将它们拉起来,使树的其余部分悬在它们之间,这为我们提供了对序列末尾的均摊常量访问时间。

这种新的数据结构被称为手指树。手指树由沿其树脊(棕色线)分布的几层(下方蓝色框)组成:

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data FingerTree a = Empty
                  | Single a
                  | Deep (Digit a) (FingerTree (Node a)) (Digit a)

data Digit a = One a | Two a a | Three a a a | Four a a a a
data Node a = Node2 a a | Node3 a a a

示例中的数字是带有字母的节点。每个列表由树脊上每个节点的前缀或后缀划分。在转换后的 2-3 树中,顶层的数字列表似乎可以有两个或三个长度,而较低级别的长度只有一或两个。为了使手指树的某些应用程序能够如此高效地运行,手指树允许在每个级别上有 1 4 个子树。手指树的数字可以转换成一个列表,如:

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type Digit a = One a | Two a a | Three a a a | Four a a a a

顶层具有类型 a 的元素,下一层具有类型节点 a 的元素,因为树脊和叶子之间的节点,这通常意味着树的第 n 层具有元素类型为 Node^{n} a ,或 2-3 个深度为 n 的树。这意味着 n 个元素的序列由深度为 Θ(log n) 的树表示。距离最近端 d 的元素存储在树中 Θ(log d) 深度处。

双向队列操作

指状树也可以制作高效的双向队列。无论结构是否持久,所有操作都需要 Θ(1) 时间。它可以被看作是的隐式双端队列的扩展[3]:

  1. 用 2-3 个节点替换对提供了足够的灵活性来支持有效的串联。(为了保持恒定时间的双端队列操作,必须将 Digit 扩展为四。)
  2. 用幺半群(monoid)注释内部节点允许有效的分裂。
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data ImplicitDeque a = Empty
                     | Single a
                     | Deep (Digit a) (ImplicitDeque (a, a)) (Digit a)

data Digit a = One a | Two a a | Three a a a

时间复杂度

手指树提供了对树的“手指”(叶子)的分摊常量时间访问,这是存储数据的地方,以及在较小部分的大小中连接和拆分对数时间。它还在每个内部节点中存储对其后代应用一些关联操作的结果。存储在内部节点中的“摘要”数据可用于提供除树之外的数据结构的功能。

操作 手指树 注释 2-3 树 (annotated 2-3 tree) 列表(list) 向量(vector)
const,snoc O(1) O(logn) O(1)/O(n) O(n)
viewl,viewr O(1) O(logn) O(1)/O(n) O(1)
measure/length O(1) O(1) O(n) O(1)
append O(log min(l1, l2)) O(logn) O(n) O(m+n)
split O(log min(n, l-n)) O(logn) O(n) O(1)
replicate O(log n) O(logn) O(n) O(n)
fromList,toList,reverse O(l)/O(l)/O(l) O(l) O(1)/O(1)/O(n) O(n)
index O(log min(n, l-n)) O(logn) O(n) O(1)

应用

指状树可用于建造其他树。例如,优先级队列可以通过树中子节点的最小优先级标记内部节点来实现,或者索引列表/数组可以通过节点的子节点中叶子的计数来标记节点来实现。其他应用包括随机访问序列(如下所述)、有序序列和区间树。

手指树可以提供平均 O(1) 的推、反转、弹出, O(log n) 追加和拆分;并且可以适应索引或排序序列。和所有函数式数据结构一样,它本质上是持久的;也就是说,始终保留旧版本的树。

对于代码实现,Haskell 核心库中的有限序列 Seq 的实现使用了 2-3 手指树(Data.Sequence),OCaml 中 BatFingerTree 模块的 实现 也使用了通用手指树数据结构。手指树可以使用或不使用惰性求值来实现,但惰性允许更简单的实现。

References


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