树状数组

引入

树状数组是一种支持 单点修改 和 区间查询 的，代码量小的数据结构。

什么是「单点修改」和「区间查询」？

假设有这样一道题：

已知一个数列，你需要进行下面两种操作：

给定，将自增。
给定，求解 $a[l \ldots r]$ 的和。

其中第一种操作就是「单点修改」，第二种操作就是「区间查询」。

类似地，还有：「区间修改」、「单点查询」。它们分别的一个例子如下：

区间修改：给定，将 $a[l \ldots r]$ 中的每个数都分别自增；
单点查询：给定，求解的值。

注意到，区间问题一般严格强于单点问题，因为对单点的操作相当于对一个长度为的区间操作。

普通树状数组维护的信息及运算要满足 结合律 且 可差分，如加法（和）、乘法（积）、异或等。

结合律： $(x \circ y) \circ z = x \circ (y \circ z)$ ，其中 $\circ$ 是一个二元运算符。
可差分：具有逆运算的运算，即已知 $x \circ y$ 和可以求出。

需要注意的是：

模意义下的乘法若要可差分，需保证每个数都存在逆元（模数为质数时一定存在）；
例如 $\gcd$ ， $\max$ 这些信息不可差分，所以不能用普通树状数组处理，但是：
- 使用两个树状数组可以用于处理区间最值，见 Efficient Range Minimum Queries using Binary Indexed Trees。
- 本页面也会介绍一种支持不可差分信息查询的， $\Theta(\log^2n)$ 时间复杂度的拓展树状数组。

事实上，树状数组能解决的问题是线段树能解决的问题的子集：树状数组能做的，线段树一定能做；线段树能做的，树状数组不一定可以。然而，树状数组的代码要远比线段树短，时间效率常数也更小，因此仍有学习价值。

有时，在差分数组和辅助数组的帮助下，树状数组还可解决更强的 区间加单点值 和 区间加区间和 问题。

树状数组

初步感受

先来举个例子：我们想知道 $a[1 \ldots 7]$ 的前缀和，怎么做？

一种做法是：，需要求个数的和。

但是如果已知三个数，，， $A = a[1 \ldots 4]$ 的和， $B = a[5 \ldots 6]$ 的总和， $C = a[7 \ldots 7]$ 的总和（其实就是自己）。你会怎么算？你一定会回答：，只需要求个数的和。

这就是树状数组能快速求解信息的原因：我们总能将一段前缀拆成 不多于 $\boldsymbol{\log n}$ 段区间，使得这 $\log n$ 段区间的信息是 已知的。

于是，我们只需合并这 $\log n$ 段区间的信息，就可以得到答案。相比于原来直接合并个信息，效率有了很大的提高。

不难发现信息必须满足结合律，否则就不能像上面这样合并了。

下面这张图展示了树状数组的工作原理：

最下面的八个方块代表原始数据数组。上面参差不齐的方块（与最上面的八个方块是同一个数组）代表数组的上级—— 数组。

数组就是用来储存原始数组某段区间的和的，也就是说，这些区间的信息是已知的，我们的目标就是把查询前缀拆成这些小区间。

例如，从图中可以看出：

管辖的是 $a[1 \ldots 2]$ ；
管辖的是 $a[1 \ldots 4]$ ；
管辖的是 $a[5 \ldots 6]$ ；
管辖的是 $a[1 \ldots 8]$ ；
剩下的管辖的都是自己（可以看做 $a[x \ldots x]$ 的长度为的小区间）。

不难发现，管辖的一定是一段右边界是的区间总信息。我们先不关心左边界，先来感受一下树状数组是如何查询的。

举例：计算 $a[1 \ldots 7]$ 的和。

过程：从 $c_{7}$ 开始往前跳，发现 $c_{7}$ 只管辖 $a_{7}$ 这个元素；然后找 $c_{6}$ ，发现 $c_{6}$ 管辖的是 $a[5 \ldots 6]$ ，然后跳到 $c_{4}$ ，发现 $c_{4}$ 管辖的是 $a[1 \ldots 4]$ 这些元素，然后再试图跳到，但事实上不存在，不跳了。

我们刚刚找到的是，事实上这就是 $a[1 \ldots 7]$ 拆分出的三个小区间，合并得到答案是。

举例：计算 $a[4 \ldots 7]$ 的和。

我们还是从开始跳，跳到再跳到。此时我们发现它管理了 $a[1 \ldots 4]$ 的和，但是我们不想要 $a[1 \ldots 3]$ 这一部分，怎么办呢？很简单，减去 $a[1 \ldots 3]$ 的和就行了。

那不妨考虑最开始，就将查询 $a[4 \ldots 7]$ 的和转化为查询 $a[1 \ldots 7]$ 的和，以及查询 $a[1 \ldots 3]$ 的和，最终将两个结果作差。

管辖区间

那么问题来了， $c[x](x \ge 1)$ 管辖的区间到底往左延伸多少？也就是说，区间长度是多少？

树状数组中，规定管辖的区间长度为 $2^{k}$ ，其中：

设二进制最低位为第位，则恰好为二进制表示中，最低位的 1 所在的二进制位数；
（的管辖区间长度）恰好为二进制表示中，最低位的 1 以及后面所有 0 组成的数。

举个例子， $c_{88}$ 管辖的是哪个区间？

因为 $88_{(10)}=01011000_{(2)}$ ，其二进制最低位的 1 以及后面的 0 组成的二进制是 1000，即，所以 $c_{88}$ 管辖个数组中的元素。

因此， $c_{88}$ 代表 $a[81 \ldots 88]$ 的区间信息。

我们记二进制最低位 1 以及后面的 0 组成的数为 $\operatorname{lowbit}(x)$ ，那么管辖的区间就是 $[x-\operatorname{lowbit}(x)+1, x]$ 。

这里注意： $\boldsymbol{\operatorname{lowbit}}$ 指的不是最低位 1 所在的位数 $\boldsymbol{k}$ ，而是这个 1 和后面所有 0 组成的 $\boldsymbol{2^k}$ 。

怎么计算 lowbit？根据位运算知识，可以得到 lowbit(x) = x & -x。

lowbit 的原理

将 x 的二进制所有位全部取反，再加 1，就可以得到 -x 的二进制编码。例如，的二进制编码是 110，全部取反后得到 001，加 1 得到 010。

设原先 x 的二进制编码是 (...)10...00，全部取反后得到 [...]01...11，加 1 后得到 [...]10...00，也就是 -x 的二进制编码了。这里 x 二进制表示中第一个 1 是 x 最低位的 1。

(...) 和 [...] 中省略号的每一位分别相反，所以 x & -x = (...)10...00 & [...]10...00 = 10...00，得到的结果就是 lowbit。

实现

C++Python

int lowbit(int x) {
  // x 的二进制中，最低位的 1 以及后面所有 0 组成的数。
  // lowbit(0b01011000) == 0b00001000
  //          ~~~~^~~~
  // lowbit(0b01110010) == 0b00000010
  //          ~~~~~~^~
  return x & -x;
}

def lowbit(x):
    """
    x 的二进制中，最低位的 1 以及后面所有 0 组成的数。
    lowbit(0b01011000) == 0b00001000
            ~~~~~^~~
    lowbit(0b01110010) == 0b00000010
            ~~~~~~~^~
    """
    return x & -x

区间查询

接下来我们来看树状数组具体的操作实现，先来看区间查询。

回顾查询 $a[4 \ldots 7]$ 的过程，我们是将它转化为两个子过程：查询 $a[1 \ldots 7]$ 和查询 $a[1 \ldots 3]$ 的和，最终作差。

其实任何一个区间查询都可以这么做：查询 $a[l \ldots r]$ 的和，就是 $a[1 \ldots r]$ 的和减去 $a[1 \ldots l - 1]$ 的和，从而把区间问题转化为前缀问题，更方便处理。

事实上，将有关 $l \ldots r$ 的区间询问转化为 $1 \ldots r$ 和 $1 \ldots l - 1$ 的前缀询问再差分，在竞赛中是一个非常常用的技巧。

那前缀查询怎么做呢？回顾下查询 $a[1 \ldots 7]$ 的过程：

从 $c_{7}$ 往前跳，发现 $c_{7}$ 只管辖 $a_{7}$ 这个元素；然后找 $c_{6}$ ，发现 $c_{6}$ 管辖的是 $a[5 \ldots 6]$ ，然后跳到 $c_{4}$ ，发现 $c_{4}$ 管辖的是 $a[1 \ldots 4]$ 这些元素，然后再试图跳到，但事实上不存在，不跳了。
我们刚刚找到的是，事实上这就是 $a[1 \ldots 7]$ 拆分出的三个小区间，合并一下，答案是。

观察上面的过程，每次往前跳，一定是跳到现区间的左端点的左一位，作为新区间的右端点，这样才能将前缀不重不漏地拆分。比如现在管的是 $a[5 \ldots 6]$ ，下一次就跳到，即访问。

我们可以写出查询 $a[1 \ldots x]$ 的过程：

从开始往前跳，有管辖 $a[x-\operatorname{lowbit}(x)+1 \ldots x]$ ；
令 $x \gets x - \operatorname{lowbit}(x)$ ，如果说明已经跳到尽头了，终止循环；否则回到第一步。
将跳到的合并。

实现时，我们不一定要先把都跳出来然后一起合并，可以边跳边合并。

比如我们要维护的信息是和，直接令初始 $\mathrm{ans} = 0$ ，然后每跳到一个就 $\mathrm{ans} \gets \mathrm{ans} + c[x]$ ，最终 $\mathrm{ans}$ 就是所有合并的结果。

实现

C++Python

int getsum(int x) {  // a[1]..a[x]的和
  int ans = 0;
  while (x > 0) {
    ans = ans + c[x];
    x = x - lowbit(x);
  }
  return ans;
}

def getsum(x):  # a[1]..a[x]的和
    ans = 0
    while x > 0:
        ans = ans + c[x]
        x = x - lowbit(x)
    return ans

树状数组与其树形态的性质

在讲解单点修改之前，先讲解树状数组的一些基本性质，以及其树形态来源，这有助于更好理解树状数组的单点修改。

我们约定：

$l(x) = x - \operatorname{lowbit}(x) + 1$ 。即，是管辖范围的左端点。
对于任意正整数，总能将表示成 $s \times 2^{k + 1} + 2^k$ 的形式，其中 $\operatorname{lowbit}(x) = 2^k$ 。
下面「和不交」指的管辖范围和的管辖范围不相交，即和不相交。「包含于」等表述同理。

性质 $\boldsymbol{1}$ ：对于 $\boldsymbol{x \le y}$ ，要么有 $\boldsymbol{c[x]}$ 和 $\boldsymbol{c[y]}$ 不交，要么有 $\boldsymbol{c[x]}$ 包含于 $\boldsymbol{c[y]}$ 。

证明

证明：假设和相交，即和相交，则一定有 $l(y) \le x \le y$ 。

将表示为 $s \times 2^{k +1} + 2^k$ ，则 $l(y) = s \times 2^{k + 1} + 1$ 。所以，可以表示为 $s \times 2^{k +1} + b$ ，其中 $1 \le b \le 2^k$ 。

不难发现 $\operatorname{lowbit}(x) = \operatorname{lowbit}(b)$ 。又因为 $b - \operatorname{lowbit}(b) \ge 0$ ，

所以 $l(x) = x - \operatorname{lowbit}(x) + 1 = s \times 2^{k +1} + b - \operatorname{lowbit}(b) +1 \ge s \times 2^{k +1} + 1 = l(y)$ ，即 $l(y) \le l(x) \le x \le y$ 。

所以，如果和相交，那么的管辖范围一定完全包含于。

性质 $\boldsymbol{2}$ ： $\boldsymbol{c[x]}$ 真包含于 $\boldsymbol{c[x + \operatorname{lowbit}(x)]}$ 。

证明

证明：设 $y = x + \operatorname{lowbit}(x)$ ， $x = s \times 2^{k + 1} + 2^k$ ，则 $y = (s + 1) \times 2^{k +1}$ ， $l(x) = s \times 2^{k + 1} + 1$ 。

不难发现 $\operatorname{lowbit}(y) \ge 2^{k + 1}$ ，所以 $l(y) = (s + 1) \times 2^{k + 1} - \operatorname{lowbit}(y) + 1 \le s \times 2^{k +1} + 1= l(x)$ ，即 $l(y) \le l(x) \le x < y$ 。

所以，真包含于 $c[x + \operatorname{lowbit}(x)]$ 。

性质：对于任意 $\boldsymbol{x < y < x + \operatorname{lowbit}(x)}$ ，有 $\boldsymbol{c[x]}$ 和 $\boldsymbol{c[y]}$ 不交。

证明

证明：设 $x = s \times 2^{k + 1} + 2^k$ ，则 $y = x + b = s \times 2^{k + 1} + 2^k + b$ ，其中 $1 \le b < 2^k$ 。

不难发现 $\operatorname{lowbit}(y) = \operatorname{lowbit}(b)$ 。又因为 $b - \operatorname{lowbit}(b) \ge 0$ ，

因此 $l(y) = y - \operatorname{lowbit}(y) + 1 = x + b - \operatorname{lowbit}(b) + 1 > x$ ，即 $l(x) \le x < l(y) \le y$ 。

所以，和不交。

有了这三条性质的铺垫，我们接下来看树状数组的树形态（请忽略向的连边）。

事实上，树状数组的树形态是向 $x + \operatorname{lowbit}(x)$ 连边得到的图，其中 $x + \operatorname{lowbit}(x)$ 是的父亲。

注意，在考虑树状数组的树形态时，我们不考虑树状数组大小的影响，即我们认为这是一棵无限大的树，方便分析。实际实现时，我们只需用到 $x \le n$ 的，其中是原数组长度。

这棵树天然满足了很多美好性质，下面列举若干（设表示的直系父亲）：

。
大于任何一个的后代，小于任何一个的祖先。
点的 $\operatorname{lowbit}$ 严格小于的 $\operatorname{lowbit}$ 。

证明

设 $y = x + \operatorname{lowbit}(x)$ ， $x = s \times 2^{k + 1} + 2^k$ ，则 $y = (s + 1) \times 2^{k +1}$ ，不难发现 $\operatorname{lowbit}(y) \ge 2^{k + 1} > \operatorname{lowbit}(x)$ ，证毕。

点的高度是 $\log_2\operatorname{lowbit}(x)$ ，即二进制最低位 1 的位数。

高度的定义

点的高度满足：如果 $x \bmod 2 = 1$ ，则，否则 $h(x) = \max(h(y)) + 1$ ，其中代表的所有儿子（此时至少存在一个儿子）。

也就是说，一个点的高度恰好比它最高的那个儿子再高。如果一个点没有儿子，它的高度是。

这里引出高度这一概念，是为后面解释复杂度更方便。

真包含于（性质）。
真包含于，其中是的任一祖先（在上一条性质上归纳）。
真包含，其中是的任一后代（上面那条性质，颠倒）。
对于任意，若不是的祖先，则和不交。

证明

和的祖先中，一定存在一个点使得，根据性质得不相交于，而包含，因此不交于。

对于任意，如果不在的子树上，则和不交（上面那条性质，颠倒）。
对于任意，当且仅当是的祖先，真包含于（上面几条性质的总结）。这就是树状数组单点修改的核心原理。
设 $u = s \times 2^{k + 1} + 2^k$ ，则其儿子数量为 $k = \log_2\operatorname{lowbit}(u)$ ，编号分别为 $u - 2^t(0 \le t < k)$ 。
- 举例：假设，的二进制编号为 ...1000，则有三个儿子，二进制编号分别为 ...0111、...0110、...0100。

证明

在一个数的基础上减去，二进制第位会反转，而更低的位保持不变。

考虑的儿子，有 $v + \operatorname{lowbit}(v) = u$ ，即且 $\operatorname{lowbit}(v) = 2^t$ 。设 $u = s \times 2^{k + 1} + 2^k$ 。

考虑 $\boldsymbol{0 \le t < k}$ ，的第位及后方均为，所以的第位变为，后面仍为，满足 $\operatorname{lowbit}(v) = 2^t$ 。

考虑 $\boldsymbol{t = k}$ ，则，的第位变为，不满足 $\operatorname{lowbit}(v) = 2^t$ 。

考虑 $\boldsymbol{t > k}$ ，则，的第位是，所以 $\operatorname{lowbit}(v) = 2^k$ ，不满足 $\operatorname{lowbit}(v) = 2^t$ 。

的所有儿子对应的管辖区间恰好拼接成。
- 举例：假设，的二进制编号为 ...1000，则有三个儿子，二进制编号分别为 ...0111、...0110、...0100。
- c[...0100] 表示 a[...0001 ~ ...0100]。
- c[...0110] 表示 a[...0101 ~ ...0110]。
- c[...0111] 表示 a[...0111 ~ ...0111]。
- 不难发现上面是三个管辖区间的并集恰好是 a[...0001 ~ ...0111]，即。

证明

的儿子总能表示成 $u - 2^t(0 \le t < k)$ ，不难发现，越小，越大，代表的区间越靠右。我们设，则 $f(k - 1), f(k - 2), \ldots, f(0)$ 分别构成从左到右的儿子。

不难发现 $\operatorname{lowbit}(f(t)) = 2^t$ ，所以 $l(f(t)) = u - 2^t - 2^t + 1 = u - 2^{t + 1} + 1$ 。

考虑相邻的两个儿子和。前者管辖区间的右端点是 $f(t + 1) = u - 2^{t + 1}$ ，后者管辖区间的左端点是 $l(f(t)) = u - 2^{t + 1} + 1$ ，恰好相接。

考虑最左面的儿子，其管辖左边界恰为。

考虑最右面的儿子，其管辖右边界就是。

因此，这些儿子的管辖区间可以恰好拼成。

单点修改

现在来考虑如何单点修改。

我们的目标是快速正确地维护数组。为保证效率，我们只需遍历并修改管辖了的所有，因为其他的显然没有发生变化。

管辖的一定包含（根据性质），所以在树状数组树形态上是的祖先。因此我们从开始不断跳父亲，直到跳得超过了原数组长度为止。

设表示的大小，不难写出单点修改的过程：

初始令。
修改。
令 $x' \gets x' + \operatorname{lowbit}(x')$ ，如果说明已经跳到尽头了，终止循环；否则回到第二步。

区间信息和单点修改的种类，共同决定的修改方式。下面给几个例子：

若维护区间和，修改种类是将加上，则修改方式则是将所有也加上。
若维护区间积，修改种类是将乘上，则修改方式则是将所有也乘上。

然而，单点修改的自由性使得修改的种类和维护的信息不一定是同种运算，比如，若维护区间和，修改种类是将赋值为，可以考虑转化为将加上。如果是将乘上，就考虑转化为加上 $a[x] \times p - a[x]$ 。

下面以维护区间和，单点加为例给出实现。

实现

C++Python

void add(int x, int k) {
  while (x <= n) {  // 不能越界
    c[x] = c[x] + k;
    x = x + lowbit(x);
  }
}

def add(x, k):
    while x <= n:  # 不能越界
        c[x] = c[x] + k
        x = x + lowbit(x)

建树

也就是根据最开始给出的序列，将树状数组建出来（全部预处理好）。

一般可以直接转化为次单点修改，时间复杂度 $\Theta(n \log n)$ （复杂度分析在后面）。

比如给定序列要求建树，直接看作对单点加，对单点加，对单点加即可。

也有 $\Theta(n)$ 的建树方法，见本页面 $\Theta(n)$ 建树一节。

复杂度分析

空间复杂度显然 $\Theta(n)$ 。

时间复杂度：

对于区间查询操作：整个 $x \gets x - \operatorname{lowbit}(x)$ 的迭代过程，可看做将二进制中的所有，从低位到高位逐渐改成的过程，拆分出的区间数等于二进制中的数量（即 $\operatorname{popcount}(x)$ ）。因此，单次查询时间复杂度是 $\Theta(\log n)$ ；
对于单点修改操作：跳父亲时，访问到的高度一直严格增加，且始终有 $x \le n$ 。由于点的高度是 $\log_2\operatorname{lowbit}(x)$ ，所以跳到的高度不会超过 $\log_2n$ ，所以访问到的的数量是 $\log n$ 级别。因此，单次单点修改复杂度是 $\Theta(\log n)$ 。

区间加区间和

前置知识：前缀和 & 差分。

该问题可以使用两个树状数组维护差分数组解决。

考虑序列的差分数组，其中。由于差分数组的前缀和就是原数组，所以 $a_i=\sum_{j=1}^i d_j$ 。

一样地，我们考虑将查询区间和通过差分转化为查询前缀和。那么考虑查询 $a[1 \ldots r]$ 的和，即 $\sum_{i=1}^{r} a_i$ ，进行推导：

\begin{aligned} &\sum_{i=1}^{r} a_i\\=&\sum_{i=1}^r\sum_{j=1}^i d_j \end{aligned}

观察这个式子，不难发现每个总共被加了次。接着推导：

\begin{aligned} &\sum_{i=1}^r\sum_{j=1}^i d_j\\=&\sum_{i=1}^r d_i\times(r-i+1) \\=&\sum_{i=1}^r d_i\times (r+1)-\sum_{i=1}^r d_i\times i \end{aligned}

$\sum_{i=1}^r d_i$ 并不能推出 $\sum_{i=1}^r d_i \times i$ 的值，所以要用两个树状数组分别维护和 $d_i \times i$ 的和信息。

那么怎么做区间加呢？考虑给原数组 $a[l \ldots r]$ 区间加给带来的影响。

因为差分是，

多了而不变，所以的值多了。
不变而多了，所以的值少了。
对于不等于且不等于的任意，和要么都没发生变化，要么都加了，还是，所以其它的均不变。

那就不难想到维护方式了：对于维护的树状数组，对单点加，单点加；对于维护 $d_i \times i$ 的树状数组，对单点加 $v \times l$ ，单点加 $-v \times (r + 1)$ 。

而更弱的问题，「区间加求单点值」，只需用树状数组维护一个差分数组。询问的单点值，直接求 $d[1 \ldots x]$ 的和即可。

这里直接给出「区间加区间和」的代码：

实现

C++Python

int t1[MAXN], t2[MAXN], n;

int lowbit(int x) { return x & (-x); }

void add(int k, int v) {
  int v1 = k * v;
  while (k <= n) {
    t1[k] += v, t2[k] += v1;
    // 注意不能写成 t2[k] += k * v，因为 k 的值已经不是原数组的下标了
    k += lowbit(k);
  }
}

int getsum(int *t, int k) {
  int ret = 0;
  while (k) {
    ret += t[k];
    k -= lowbit(k);
  }
  return ret;
}

void add1(int l, int r, int v) {
  add(l, v), add(r + 1, -v);  // 将区间加差分为两个前缀加
}

long long getsum1(int l, int r) {
  return (r + 1ll) * getsum(t1, r) - 1ll * l * getsum(t1, l - 1) -
         (getsum(t2, r) - getsum(t2, l - 1));
}

t1 = [0] * MAXN
t2 = [0] * MAXN
n = 0


def lowbit(x):
    return x & (-x)


def add(k, v):
    v1 = k * v
    while k <= n:
        t1[k] = t1[k] + v
        t2[k] = t2[k] + v1
        k = k + lowbit(k)


def getsum(t, k):
    ret = 0
    while k:
        ret = ret + t[k]
        k = k - lowbit(k)
    return ret


def add1(l, r, v):
    add(l, v)
    add(r + 1, -v)


def getsum1(l, r):
    return (
        (r) * getsum(t1, r)
        - l * getsum(t1, l - 1)
        - (getsum(t2, r) - getsum(t2, l - 1))
    )

根据这个原理，应该可以实现「区间乘区间积」，「区间异或一个数，求区间异或值」等，只要满足维护的信息和区间操作是同种运算即可，感兴趣的读者可以自己尝试。

二维树状数组

单点修改，子矩阵查询

二维树状数组，也被称作树状数组套树状数组，用来维护二维数组上的单点修改和前缀信息问题。

与一维树状数组类似，我们用表示 $a(x - \operatorname{lowbit}(x) + 1, y - \operatorname{lowbit}(y) + 1) \ldots a(x, y)$ 的矩阵总信息，即一个以为右下角，高 $\operatorname{lowbit}(x)$ ，宽 $\operatorname{lowbit}(y)$ 的矩阵的总信息。

对于单点修改，设：

f(x, i) = \begin{cases}x &i = 0\\f(x, i - 1) + \operatorname{lowbit}(f(x, i - 1)) & i > 0\\\end{cases}

即为在树状数组树形态上的第级祖先（第级祖先是自己）。

则只有中的元素管辖，修改时只需修改所有，其中 $f(x, i) \le n$ ， $f(y, j) \le m$ 。

正确性证明

管辖，求和的取值范围。

考虑一个大小为的一维树状数组（对应原数组）和一个大小为的一维树状数组（对应原数组）。

则命题等价为：管辖且管辖的条件。

也就是说，在树状数组树形态上，是及其祖先中的一个点，是及其祖先中的一个点。

所以，。

对于查询，我们设：

g(x, i) = \begin{cases}x &i = 0\\g(x, i - 1) - \operatorname{lowbit}(g(x, i - 1)) & i, g(x, i - 1) > 0\\0&\text{otherwise.}\end{cases}

则合并所有，其中。

正确性证明

设 $\circ$ 表示合并两个信息的运算符（比如，如果信息是区间和，则 $\circ = +$ ）。

考虑一个一维树状数组， $c_1[g(x, 0)] \circ c_1[g(x, 1)] \circ c_1[g(x, 2)] \circ \cdots$ 恰好表示原数组上 $[1 \ldots x]$ 这段区间信息。

类似地，设 $t(x) = c(x, g(y, 0)) \circ c(x, g(y, 1)) \circ c(x, g(y, 2)) \circ \cdots$ ，则恰好表示 $a(x - \operatorname{lowbit}(x) + 1, 1) \ldots a(x, y)$ 这个矩阵信息。

又类似地，就有 $t(g(x, 0)) \circ t(g(x, 1)) \circ t(g(x, 2)) \circ \cdots$ 表示 $a(1, 1) \ldots a(x, y)$ 这个矩阵信息。

其实这里这个函数如果看成一个树状数组，相当于一个树状数组套了一个树状数组，这也就是「树状数组套树状数组」这个名字的来源。

下面给出单点加、查询子矩阵和的代码。

实现

单点加查询子矩阵和

void add(int x, int y, int v) {
  for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) {
    for (int j = y; j <= m; j += lowbit(j)) {
      // 注意这里必须得建循环变量，不能像一维数组一样直接 while (x <= n) 了
      c[i][j] += v;
    }
  }
}

int sum(int x, int y) {
  int res = 0;
  for (int i = x; i > 0; i -= lowbit(i)) {
    for (int j = y; j > 0; j -= lowbit(j)) {
      res += c[i][j];
    }
  }
  return res;
}

int ask(int x1, int y1, int x2, int y2) {
  // 查询子矩阵和
  return sum(x2, y2) - sum(x2, y1 - 1) - sum(x1 - 1, y2) + sum(x1 - 1, y1 - 1);
}

子矩阵加，求子矩阵和

前置知识：前缀和 & 差分和本页面区间加区间和一节。

和一维树状数组的「区间加区间和」问题类似，考虑维护差分数组。

二维数组上的差分数组是这样的：

。

为什么这么定义？

这是因为，理想规定状态下，在差分矩阵上做二维前缀和应该得到原矩阵，因为这是一对逆运算。

二维前缀和的公式是这样的：

。

所以，设是原数组，是差分数组，有：

移项就得到二维差分的公式了。

。

这样以来，对左上角，右下角的子矩阵区间加，相当于在差分数组上，对和分别单点加，对和分别单点加。

至于原因，把这四个分别用定义式表示出来，分析一下每项的变化即可。

举个例子吧，初始差分数组为，给 $a(2, 2) \ldots a(3, 4)$ 子矩阵加后差分数组会变为：

\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\0&v&0&0&-v\\0&0&0&0&0\\0&-v&0&0&v\end{pmatrix}

（其中 $a(2, 2) \ldots a(3, 4)$ 这个子矩阵恰好是上面位于中心的 $2 \times 3$ 大小的矩阵。）

因此，子矩阵加的做法是：转化为差分数组上的四个单点加操作。

现在考虑查询子矩阵和：

对于点，它的二维前缀和可以表示为：

\sum_{i = 1}^x\sum_{j = 1}^y\sum_{h = 1}^i\sum_{k = 1}^j d(h, k)

原因就是差分的前缀和的前缀和就是原本的前缀和。

和一维树状数组的「区间加区间和」问题类似，统计的出现次数，为 $(x - h + 1) \times (y - k + 1)$ 。

然后接着推导：

\begin{aligned} &\sum_{i = 1}^x\sum_{j = 1}^y\sum_{h = 1}^i\sum_{k = 1}^j d(h, k) \\=&\sum_{i = 1}^x\sum_{j = 1}^y d(i, j) \times (x - i + 1) \times (y - j + 1) \\=&\sum_{i = 1}^x\sum_{j = 1}^y d(i, j) \times (xy + x + y + 1) - d(i, j) \times i \times (y + 1) - d(i, j) \times j \times (x + 1) + d(i, j) \times i \times j \end{aligned}

所以我们需维护四个树状数组，分别维护， $d(i, j) \times i$ ， $d(i, j) \times j$ ， $d(i, j) \times i \times j$ 的和信息。

当然了，和一维同理，如果只需要子矩阵加求单点值，维护一个差分数组然后询问前缀和就足够了。

下面给出代码：

实现

using ll = long long;
ll t1[N][N], t2[N][N], t3[N][N], t4[N][N];

void add(ll x, ll y, ll z) {
  for (int X = x; X <= n; X += lowbit(X))
    for (int Y = y; Y <= m; Y += lowbit(Y)) {
      t1[X][Y] += z;
      t2[X][Y] += z * x;  // 注意是 z * x 而不是 z * X，后面同理
      t3[X][Y] += z * y;
      t4[X][Y] += z * x * y;
    }
}

void range_add(ll xa, ll ya, ll xb, ll yb,
               ll z) {  //(xa, ya) 到 (xb, yb) 子矩阵
  add(xa, ya, z);
  add(xa, yb + 1, -z);
  add(xb + 1, ya, -z);
  add(xb + 1, yb + 1, z);
}

ll ask(ll x, ll y) {
  ll res = 0;
  for (int i = x; i; i -= lowbit(i))
    for (int j = y; j; j -= lowbit(j))
      res += (x + 1) * (y + 1) * t1[i][j] - (y + 1) * t2[i][j] -
             (x + 1) * t3[i][j] + t4[i][j];
  return res;
}

ll range_ask(ll xa, ll ya, ll xb, ll yb) {
  return ask(xb, yb) - ask(xb, ya - 1) - ask(xa - 1, yb) + ask(xa - 1, ya - 1);
}

权值树状数组及应用

我们知道，普通树状数组直接在原序列的基础上构建，表示的就是 $a[5 \ldots 6]$ 的区间信息。

然而事实上，我们还可以在原序列的权值数组上构建树状数组，这就是权值树状数组。

什么是权值数组？

一个序列的权值数组，满足的值为在中的出现次数。

例如：的权值数组为。

很明显，的大小和的值域有关。

若原数列值域过大，且重要的不是具体值而是值与值之间的相对大小关系，常离散化原数组后再建立权值数组。

另外，权值数组是原数组无序性的一种表示：它重点描述数组的元素内容，忽略了数组的顺序，若两数组只是顺序不同，所含内容一致，则它们的权值数组相同。

因此，对于给定数组的顺序不影响答案的问题，在权值数组的基础上思考一般更直观，比如 [NOIP2021] 数列。

运用权值树状数组，我们可以解决一些经典问题。

单点修改，查询全局第小

在此处只讨论第小，第大问题可以通过简单计算转化为第小问题。

该问题可离散化，如果原序列值域过大，离散化后再建立权值数组。注意，还要把单点修改中的涉及到的值也一起离散化，不能只离散化原数组中的元素。

对于单点修改，只需将对原数列的单点修改转化为对权值数组的单点修改即可。具体来说，原数组从修改为，转化为对权值数组的单点修改就是单点减，单点加。

对于查询第小，考虑二分，查询权值数组中的前缀和，找到使得的前缀和而的前缀和 $\ge k$ ，则第大的数是（注：这里认为的前缀和是）。

这样做时间复杂度是 $\Theta(\log^2n)$ 的。

考虑用倍增替代二分。

设， $\mathrm{sum} = 0$ ，枚举从 $\log_2n$ 降为：

查询权值数组中 $[x + 1 \ldots x + 2^i]$ 的区间和。
如果 $\mathrm{sum} + t < k$ ，扩展成功， $x \gets x + 2^i$ ， $\mathrm{sum} \gets \mathrm{sum} + t$ ；否则扩展失败，不操作。

这样得到的是满足 $[1 \ldots x]$ 前缀和的最大值，所以最终就是答案。

看起来这种方法时间效率没有任何改善，但事实上，查询 $[x + 1 \ldots x + 2^i]$ 的区间和只需访问的值即可。

原因很简单，考虑 $\operatorname{lowbit}(x + 2^i)$ ，它一定是，因为之前只累加过满足。因此表示的区间就是 $[x + 1 \ldots x + 2^i]$ 。

如此一来，时间复杂度降低为 $\Theta(\log n)$ 。

实现

C++Python

// 权值树状数组查询第 k 小
int kth(int k) {
  int sum = 0, x = 0;
  for (int i = log2(n); ~i; --i) {
    x += 1 << i;                    // 尝试扩展
    if (x >= n || sum + t[x] >= k)  // 如果扩展失败
      x -= 1 << i;
    else
      sum += t[x];
  }
  return x + 1;
}

# 权值树状数组查询第 k 小
def kth(k):
    sum = 0
    x = 0
    i = int(log2(n))
    while ~i:
        x = x + (1 << i)  # 尝试扩展
        if x >= n or sum + t[x] >= k:  # 如果扩展失败
            x = x - (1 << i)
        else:
            sum = sum + t[x]
        i = i - 1
    return x + 1

全局逆序对（全局二维偏序）

树状数组维护不可差分信息

比如维护区间最值等。

注意，这种方法虽然码量小，但单点修改和区间查询的时间复杂度均为 $\Theta(\log^2n)$ ，比使用线段树的时间复杂度 $\Theta(\log n)$ 劣。

区间查询

我们还是基于之前的思路，从沿着 $\operatorname{lowbit}$ 一直向前跳，但是我们不能跳到的左边。

因此，如果我们跳到了，先判断下一次要跳到的 $x - \operatorname{lowbit}(x)$ 是否小于：

如果小于，我们直接把 $\boldsymbol{a[x]}$ 单点 合并到总信息里，然后跳到。
如果大于等于，说明没越界，正常合并，然后跳到 $c[x - \operatorname{lowbit}(x)]$ 即可。

下面以查询区间最大值为例，给出代码：

实现

int getmax(int l, int r) {
  int ans = 0;
  while (r >= l) {
    ans = max(ans, a[r]);
    --r;
    for (; r - lowbit(r) >= l; r -= lowbit(r)) {
      // 注意，循环条件不要写成 r - lowbit(r) + 1 >= l
      // 否则 l = 1 时，r 跳到 0 会死循环
      ans = max(ans, C[r]);
    }
  }
  return ans;
}

可以证明，上述算法的时间复杂度是 $\Theta(\log^2n)$ 。

时间复杂度证明

考虑和不同的最高位，一定有在这一位上为，在这一位上为（因为 $r \ge l$ ）。

如果在这一位的后面仍然有，一定有 $r - \operatorname{lowbit}(r) \ge l$ ，所以下一步一定是把的最低位填为；

如果的这一位就是的最低位，无论是 $r \gets r - \operatorname{lowbit}(r)$ 还是 $r \gets r - 1$ ，的这一位一定会变为。

因此，经过至多 $\log n$ 次变换后，和不同的最高位一定可以下降一位。所以，总时间复杂度是 $\Theta(\log^2n)$ 。

单点更新

注

请先理解树状数组树形态的以下两条性质，再学习本节。

设 $u = s \times 2^{k + 1} + 2^k$ ，则其儿子数量为 $k = \log_2\operatorname{lowbit}(u)$ ，编号分别为 $u - 2^t(0 \le t < k)$ 。
的所有儿子对应的管辖区间恰好拼接成。

关于这两条性质的含义及证明，都可以在本页面的树状数组与其树形态的性质一节找到。

更新后，我们只需要更新满足在树状数组树形态上，满足是的祖先的。

对于最值（以最大值为例），一种常见的错误想法是，如果修改成，则将所有更新为 $\max(c[y], p)$ 。下面是一个反例：中将修改成，最大值是，但按照上面的修改这样会得到。将直接修改为也是错误的，一个反例是，将上面例子中的修改为。

事实上，对于不可差分信息，不存在通过直接修改的方式。这是因为修改本身就相当于是把旧数从原区间「移除」，然后加入一个新数。「移除」时对区间信息的影响，相当于做「逆运算」，而不可差分信息不存在「逆运算」，所以无法直接修改。

换句话说，对每个受影响的，这个区间的信息我们必定要重构了。

考虑的儿子们，它们的信息一定是正确的（因为我们先更新儿子再更新父亲），而这些儿子又恰好组成了这一段管辖区间，那再合并一个单点就可以合并出，也就是了。这样，我们能用至多 $\log n$ 个区间重构合并出每个需要修改的。

实现

void update(int x, int v) {
  a[x] = v;
  for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) {
    // 枚举受影响的区间
    C[i] = a[i];
    for (int j = 1; j < lowbit(i); j *= 2) {
      C[i] = max(C[i], C[i - j]);
    }
  }
}

容易看出上述算法时间复杂度为 $\Theta(\log^2n)$ 。

建树

可以考虑拆成个单点修改， $\Theta(n\log^2n)$ 建树。

也有 $\Theta(n)$ 的建树方法，见本页面 $\Theta(n)$ 建树一节的方法一。

Tricks

$\Theta(n)$ 建树

以维护区间和为例。

方法一：

每一个节点的值是由所有与自己直接相连的儿子的值求和得到的。因此可以倒着考虑贡献，即每次确定完儿子的值后，用自己的值更新自己的直接父亲。

实现

C++Python

// Θ(n) 建树
void init() {
  for (int i = 1; i <= n; ++i) {
    t[i] += a[i];
    int j = i + lowbit(i);
    if (j <= n) t[j] += t[i];
  }
}

# Θ(n) 建树
def init():
    for i in range(1, n + 1):
        t[i] = t[i] + a[i]
        j = i + lowbit(i)
        if j <= n:
            t[j] = t[j] + t[i]

方法二：

前面讲到表示的区间是 $[i-\operatorname{lowbit}(i)+1, i]$ ，那么我们可以先预处理一个 $\mathrm{sum}$ 前缀和数组，再计算数组。

实现

C++Python

// Θ(n) 建树
void init() {
  for (int i = 1; i <= n; ++i) {
    t[i] = sum[i] - sum[i - lowbit(i)];
  }
}

# Θ(n) 建树
def init():
    for i in range(1, n + 1):
        t[i] = sum[i] - sum[i - lowbit(i)]

时间戳优化

对付多组数据很常见的技巧。若每次输入新数据都暴力清空树状数组，就可能会造成超时。因此使用 $\mathrm{tag}$ 标记，存储当前节点上次使用时间（即最近一次是被第几组数据使用）。每次操作时判断这个位置 $\mathrm{tag}$ 中的时间和当前时间是否相同，就可以判断这个位置应该是还是数组内的值。

实现

C++Python

// 时间戳优化
int tag[MAXN], t[MAXN], Tag;

void reset() { ++Tag; }

void add(int k, int v) {
  while (k <= n) {
    if (tag[k] != Tag) t[k] = 0;
    t[k] += v, tag[k] = Tag;
    k += lowbit(k);
  }
}

int getsum(int k) {
  int ret = 0;
  while (k) {
    if (tag[k] == Tag) ret += t[k];
    k -= lowbit(k);
  }
  return ret;
}

# 时间戳优化
tag = [0] * MAXN
t = [0] * MAXN
Tag = 0


def reset():
    Tag = Tag + 1


def add(k, v):
    while k <= n:
        if tag[k] != Tag:
            t[k] = 0
        t[k] = t[k] + v
        tag[k] = Tag
        k = k + lowbit(k)


def getsum(k):
    ret = 0
    while k:
        if tag[k] == Tag:
            ret = ret + t[k]
        k = k - lowbit(k)
    return ret

例题

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树状数组

引入

树状数组

初步感受

管辖区间

区间查询

树状数组与其树形态的性质

单点修改

建树

复杂度分析

区间加区间和

二维树状数组

单点修改，子矩阵查询

子矩阵加，求子矩阵和

权值树状数组及应用

单点修改，查询全局第 小

全局逆序对（全局二维偏序）

树状数组维护不可差分信息

区间查询

单点更新

建树

Tricks

建树

时间戳优化

例题

单点修改，查询全局第小

$\Theta(n)$ 建树