笛卡尔树

本文介绍一种不太常用,但是与大家熟知的平衡树与堆密切相关的数据结构——笛卡尔树。

笛卡尔树是一种二叉树,每一个结点由一个键值二元组 (k,w) 构成。要求 k 满足二叉搜索树的性质,而 w 满足堆的性质。一个有趣的事实是,如果笛卡尔树的 k,w 键值确定,且 k 互不相同, w 互不相同,那么这个笛卡尔树的结构是唯一的。上图:

eg

(图源自维基百科)

上面这棵笛卡尔树相当于把数组元素值当作键值 w ,而把数组下标当作键值 k 。显然可以发现,这棵树的键值 k 满足二叉搜索树的性质,而键值 w 满足小根堆的性质。

其实图中的笛卡尔树是一种特殊的情况,因为二元组的键值 k 恰好对应数组下标,这种特殊的笛卡尔树有一个性质,就是一棵子树内的下标是连续的一个区间(这样才能满足二叉搜索树的性质)。更一般的情况则是任意二元组构建的笛卡尔树。

构建

栈构建

我们考虑将元素按照键值 k 排序。然后一个一个插入到当前的笛卡尔树中。那么每次我们插入的元素必然在这个树的右链(右链:即从根结点一直往右子树走,经过的结点形成的链)的末端。于是我们执行这样一个过程,从下往上比较右链结点与当前结点 u w ,如果找到了一个右链上的结点 x 满足 x_w<u_w ,就把 u 接到 x 的右儿子上,而 x 原本的右子树就变成 u 的左子树。

具体不解释,我们直接上图。图中红色框框部分就是我们始终维护的右链:

build

显然每个数最多进出右链一次(或者说每个点在右链中存在的是一段连续的时间)。这个过程我们可以用栈维护,栈中维护当前笛卡尔树的右链上的结点。一个点不在右链上了就把它弹掉。这样每个点最多进出一次,复杂度 O(n) 。伪代码如下:

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新建一个大小为n的空栈。
For i:=1 to n
    flag = 0
    While 栈不为空
        if 栈顶元素<当前元素
            栈顶元素.右儿子=当前元素
            break
        else
            栈顶元素.右儿子=当前元素.左儿子。
            当前元素.左儿子=栈顶元素
            栈顶元素出栈
        当前元素入栈。

笛卡尔树与 Treap

谈到笛卡尔树,很容易让人想到一种家喻户晓的结构——Treap。没错,Treap 是笛卡尔树的一种,只不过 w 的值完全随机。Treap 也有线性的构建算法,如果提前将元素排好序,显然可以使用上述单调栈算法完成构建过程,只不过很少会这么用。

例题

HDU 1506 最大子矩形

题目大意:n 个位置,每个位置上的高度是 h_i ,求最大子矩阵。举一个例子,如下图:

eg

阴影部分就是图中的最大子矩阵。

这道题你可 DP,可单调栈,但你万万没想到的是它也可以笛卡尔树!具体地,我们把下标作为键值 k h_i 作为键值 w 满足小根堆性质,构建一棵 (i,h_i) 的笛卡尔树。

这样我们枚举每个结点 u ,把 u_w (即结点 u 的高度键值 h )作为最大子矩阵的高度。由于我们建立的笛卡尔树满足小根堆性质,因此 u 的子树内的结点的高度都大于等于 u 。而我们又知道 u 子树内的下标是一段连续的区间。于是我们只需要知道子树的大小,然后就可以算这个区间的最大子矩阵的面积了。用每一个点计算出来的值更新答案即可。显然这个可以一次 DFS 完成,因此复杂度仍是 O(n) 的。

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#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 100000 + 10, INF = 0x3f3f3f3f;

struct node {
  int idx, val, par, ch[2];
  friend bool operator<(node a, node b) { return a.idx < b.idx; }
  void init(int _idx, int _val, int _par) {
    idx = _idx, val = _val, par = _par, ch[0] = ch[1] = 0;
  }
} tree[N];

int root, top, stk[N];
ll ans;
int cartesian_build(int n) {
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    int k = i - 1;
    while (tree[k].val > tree[i].val) k = tree[k].par;
    tree[i].ch[0] = tree[k].ch[1];
    tree[k].ch[1] = i;
    tree[i].par = k;
    tree[tree[i].ch[0]].par = i;
  }
  return tree[0].ch[1];
}
int dfs(int x) {
  if (!x) return 0;
  int sz = dfs(tree[x].ch[0]);
  sz += dfs(tree[x].ch[1]);
  ans = max(ans, (ll)(sz + 1) * tree[x].val);
  return sz + 1;
}
int main() {
  int n, hi;
  while (scanf("%d", &n), n) {
    tree[0].init(0, 0, 0);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
      scanf("%d", &hi);
      tree[i].init(i, hi, 0);
    }
    root = cartesian_build(n);
    ans = 0;
    dfs(root);
    printf("%lld\n", ans);
  }
  return 0;
}

参考资料

维基百科 - 笛卡尔树


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