状压 DP

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(同时建议学习 位运算 部分的内容)

状压 DP 简介

状压 dp 是动态规划的一种,通过将状态压缩为整数来达到优化转移的目的。

例题

「SCOI2005」互不侵犯

N\times N 的棋盘里面放 K 个国王,使他们互不攻击,共有多少种摆放方案。国王能攻击到它上下左右,以及左上左下右上右下八个方向上附近的各一个格子,共 8 个格子。

我们用 f(i,j,l) 表示前 i 行,当前状态为 j ,且已经放置 l 个国王时的方案数。

其中 j 这一维状态我们用一个二进制整数表示( j 的某个二进制位为 0 代表对应的列不放国王,否则代表对应的列放国王)。

我们需要在刚开始的时候预处理出一行的所有合法状态 sta(x) (排除同一行内两个国王相邻的不合法情况),在转移的时候枚举这些可能状态进行转移。

设当前行的状态为 j ,上一行的状态为 x ,可以得到下面的转移方程: f(i,j,l) = \sum f(i-1,x,l-sta(x))

需要注意在转移时排除相邻两行国王互相攻击的不合法情况。

参考代码
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#include <algorithm>
#include <iostream>
using namespace std;
long long sta[2005], sit[2005], f[15][2005][105];
int n, k, cnt;
void dfs(int x, int num, int cur) {
  if (cur >= n)  //有新的合法状态
  {
    sit[++cnt] = x;
    sta[cnt] = num;
    return;
  }
  dfs(x, num, cur + 1);  // cur位置不放国王
  dfs(x + (1 << cur), num + 1,
      cur + 2);  // cur位置放国王,与它相邻的位置不能再放国王
}
int main() {
  cin >> n >> k;
  dfs(0, 0, 0);  //先预处理一行的所有合法状态
  for (int i = 1; i <= cnt; i++) f[1][i][sta[i]] = 1;
  for (int i = 2; i <= n; i++)
    for (int j = 1; j <= cnt; j++)
      for (int l = 1; l <= cnt; l++) {
        if (sit[j] & sit[l]) continue;
        if ((sit[j] << 1) & sit[l]) continue;
        if (sit[j] & (sit[l] << 1)) continue;
        //排除不合法转移
        for (int p = sta[j]; p <= k; p++) f[i][j][p] += f[i - 1][l][p - sta[j]];
      }
  long long ans = 0;
  for (int i = 1; i <= cnt; i++) ans += f[n][i][k];  //累加答案
  cout << ans << endl;
  return 0;
}

几道练习题

NOI2001 炮兵阵地

「USACO06NOV」玉米田 Corn Fields

AHOI2009 中国象棋

九省联考 2018 一双木棋


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