状压 DP
状压 DP 是动态规划的一种，通过将状态压缩为整数来达到优化转移的目的。
例题
「SCOI2005」互不侵犯
在 的棋盘里面放 个国王（ 1\leq K\leq N\times N$），使他们互不攻击，共有多少种摆放方案。
国王能攻击到它上下左右，以及左上左下右上右下八个方向上附近的各一个格子，共 个格子。
设 表示前 行，第 行的状态为 ，且棋盘上已经放置 个国王时的合法方案数。
对于编号为 的状态，我们用二进制整数 表示国王的放置情况， 的某个二进制位为 表示对应位置不放国王，为 表示在对应位置上放置国王；用 表示该状态的国王个数，即二进制数 中 的个数。例如，如下图所示的状态可用二进制数 来表示（棋盘左边对应二进制低位），则有 。
设当前行的状态为 ，上一行的状态为 ，可以得到下面的状态转移方程：。
设上一行的状态编号为 ，在保证当前行和上一行不冲突的前提下，枚举所有可能的 进行转移，转移方程：
参考代码
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39 | #include <algorithm>
#include <iostream>
using namespace std;
long long sta[2005], sit[2005], f[15][2005][105];
int n, k, cnt;
void dfs(int x, int num, int cur) {
if (cur >= n) { // 有新的合法状态
sit[++cnt] = x;
sta[cnt] = num;
return;
}
dfs(x, num, cur + 1); // cur位置不放国王
dfs(x + (1 << cur), num + 1,
cur + 2); // cur位置放国王，与它相邻的位置不能再放国王
}
bool compatible(int j, int x) {
if (sit[j] & sit[x]) return false;
if ((sit[j] << 1) & sit[x]) return false;
if (sit[j] & (sit[x] << 1)) return false;
return true;
}
int main() {
cin >> n >> k;
dfs(0, 0, 0); // 先预处理一行的所有合法状态
for (int j = 1; j <= cnt; j++) f[1][j][sta[j]] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= cnt; j++)
for (int x = 1; x <= cnt; x++) {
if (!compatible(j, x)) continue; // 排除不合法转移
for (int l = sta[j]; l <= k; l++) f[i][j][l] += f[i - 1][x][l - sta[j]];
}
long long ans = 0;
for (int i = 1; i <= cnt; i++) ans += f[n][i][k]; // 累加答案
cout << ans << endl;
return 0;
}
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习题
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