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单调队列/单调栈优化

单调队列 & 单调栈优化

学习本节前,请务必先学习单调队列单调栈部分。

例题CF372C Watching Fireworks is Fun

题目大意:城镇中有 n 个位置,有 m 个烟花要放。第 i 个烟花放出的时间记为 t_i ,放出的位置记为 a_i 。如果烟花放出的时候,你处在位置 x ,那么你将收获 b_i-|a_i-x| 点快乐值。

初始你可在任意位置,你每个单位时间可以移动不大于 d 个单位距离。现在你需要最大化你能获得的快乐值。

f_{i,j} 表示在放第 i 个烟花时,你的位置在 j 所能获得的最大快乐值。

写出 状态转移方程 f_{i,j}=\max\{f_{i-1,k}+b_i-|a_i-j|\}

这里的 k 是有范围的, j-(t_{i+1}-t_i)\times d\le k\le j+(t_{i+1}-t_i)\times d

我们尝试将状态转移方程进行变形:

由于 \max 里出现了一个确定的常量 b_i ,我们可以将它提到外面去。

f_{i,j}=\max\{f_{i-1,k}+b_i+|a_i-j|\}=\max\{f_{i-1,k}-|a_i-j|\}+b_i

如果确定了 i j 的值,那么 |a_i-j| 的值也是确定的,也可以将这一部分提到外面去。

最后,式子变成了这个样子: f_{i,j}=\max\{f_{i-1,k}-|a_i-j|\}+b_i=\max\{f_{i-1,k}\}-|a_i-j|+b_i

看到这一熟悉的形式,我们想到了什么? 单调队列优化 。由于最终式子中的 \max 只和上一状态中连续的一段的最大值有关,所以我们在计算一个新的 i 的状态值时候只需将原来的 f_{i-1} 构造成一个单调队列,并维护单调队列,使得其能在均摊 O(1) 的时间复杂度内计算出 \max\{f_{i-1,k}\} 的值,从而根据公式计算出 f_{i,j} 的值。

总的时间复杂度为 O(nm)

讲完了,让我们归纳一下单调队列优化动态规划问题的基本形态:当前状态的所有值可以从上一个状态的某个连续的段的值得到,要对这个连续的段进行 RMQ 操作,相邻状态的段的左右区间满足非降的关系。

几道练习题

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