状态设计优化

概述

优化 dp 时,不止可以从转移过程入手,加速转移。有时,也可以从状态定义入手,通过改变设计状态的方式实现复杂度上的优化。

令人比较头疼的是,这类优化大多不具有通用性,即不能很套路地应用于多个题目中。因此,下文将从具体例题出发,力求提供思路上的启发,希望可以对读者有一定帮助。

Example I

Problem

给定两个长度分别为 n,m 且仅由小写字母构成的字符串 A,B , 求 A,B 的最长公共子序列。 (n\le 10^6,m\le 10^3)

Naive solution

您一眼秒了它,这不是板子吗?

定义状态 f_{i,j} A 的前 i 位与 B 的前 j 位最长公共子串,则有

f_{i,j}= \begin{cases} \max(f_{i-1,j},f_{i,j-1}) & ,A_i \neq B_j \\ f_{i-1,j-1}+1 & ,A_i = B_j \end{cases}

上述做法的时间复杂度 O(nm) ,无法通过本题。

Better solution

我们仔细一想,发现了一个性质:最终答案不会超过 m

我们又仔细一想,发现 LCS 满足贪心的性质。

更改状态定义 f_{i,j} 为与 B i 位的最长公共子序列长度为 j A 的最短前缀长度(即将朴素做法的答案与第一维状态对调)

可以通过预处理 A 的每一位的下一个 a,b,\cdots,z 的出现位置进行 O(1) 的顺推转移。

复杂度 O(m^2+26n) ,可以通过本题。

Example II

Problem

给定一个 n 个点的无权有向图,判断该图是否存在哈密顿回路。 (2\le n\le 20)

Naive solution

看到数据范围,我们考虑状压。

f_{s,i} 表示从点 1 出发,仅经过点集 s 中的点能否到达点 i 。记 g 为原图的邻接矩阵。则有

f_{s, i} = \bigcap_{j\in s, j\neq i}f_{s - \left\{i\right\}, j}\cap g_{j, i} \left(i\in s\right)

时间复杂度 O(n^2 \times 2^n) ,写得好看或许能过,但是并不优美。

Better solution

上面的状态设计中,每个 dp 值只代表一个 bool 值,这让我们觉得有些浪费。

我们可以考虑对于每个状态 s f_{s,1},f_{s,2},\dots,f_{s,n} 压成一个 int ,发现我们可以将邻接矩阵同样压缩后进行 O(1) 转移。

时间复杂度 O(n\times 2^n) , 可以通过这道题。


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